L’espace des fonctions ` a variation born´ ee BV pΩq
207
C’est aussi l’adh´ erence de DpΩq dans H
1
pΩq.
H
m
0 pΩq “ t u P H
m
pΩq |
B
j u
Bn j |Γ
“ 0, j “ 0, ¨ ¨ ¨ , m ´ 1u ,
o` u
B
Bn
est la d´ eriv´ ee de u suivant la normale ext´ erieure `
a Γ la fronti` ere de
Ω :
Bu
Bn
“
n
ÿ
i“1
Bu
Bx i
cospn, e i q ,
o` u n est la normale ext´ erieure `
a Γ et Ω est suppos´ e ! r´ egulier " (de fronti` ere
C
8 par exemple).
D´ efinition 1.5.3 (Dualit´ e) Pour tout m P N, on note H
´m
pΩq le dual de
H
m
0 pΩq.
Th´ eor` eme 1.5.1 (Rellich) Si Ω est un ouvert born´ e de R
n , alors pour tout
m P N, l’injection de H
m`1
0
pΩq dans H
m
0 pΩq est compacte .
En particulier l’injection de H
1
0 pΩq dans L
2
pΩq est compacte.
En pratique, cela signifie que toute suite born´ ee en norme H
1
0 pΩq converge
faiblement dans H
1
0 pΩq (apr` es extraction d’une sous-suite) et fortement dans
L
2
pΩq.
BV pΩq
Dans ce qui suit Ω un ouvert born´ e de R
2 de fronti` ere Lipschitz et C
1
c pΩ, R
2
q
est l’espace des fonctions C
1 ` a support compact dans Ω et `
a valeurs dans R
2 .
D´ efinition 1.6.1 Une fonction f de L
1
pΩq (` a valeurs dans R) est ` a variation born´ ee dans Ω si Φpf q ă `8 o` u
Φpf q “ sup
"ż
Ω
f pxq div ϕpxq dx | ϕ P C
1
c pΩ, R
2
q , }ϕ} 8 ď 1
*
. (1.20)
On note
BV pΩq “ tf P L
1
pΩq | Φpf q ă `8 u
l’espace de telles fonctions.
Remarque 1.6.1 On rappelle que si ϕ “ pϕ 1 , ϕ 2 q P C
1
c pΩ, R
2
q alors
@x “ px 1 , x 2 q P Ω
div ϕpxq “
Bϕ 1
Bx 1
pxq `
Bϕ 2
Bx 2
pxq .
A.6 L’espace des fonctions ` a variation born´ ee
A.6.1 G´ en´ eralit´ es
A.6