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A Quelques outils math´ ematiques
Pour plus de d´ etails on pourra se r´ ef´ erer `
a [35]. Soit Ω un ouvert born´ e de
R
n , (n ď 3 en pratique) de fronti` ere r´ eguli` ere Γ . On appelle DpΩq l’espace
des fonctions C
8 ` a support compact dans Ω. Son dual D
1
pΩq est l’espace des
distributions sur Ω.
Pour toute distribution u P D
1
pΩq, la d´ eriv´ ee
Bu
Bx i
est d´ efinie (par dualit´ e) de
la mani` ere suivante :
@ϕ P DpΩq
B Bu
Bx i
, ϕ
F
D 1 pΩq,DpΩq
def
” ´
B
u,
Bϕ
Bx i
F
D 1 pΩq,DpΩq
.
On notera indiff´ eremment la d´ eriv´ ee de u au sens des distributions D i u “
Bu
Bx i
“ B i u.
si α P N
n , on note D
α u “ B
α 1
1 u ¨ ¨ ¨ B
α n
n u et |α| “ α 1 ` ¨ ¨ ¨ ` α n ; on obtient
@ϕ P DpΩq
xD
α u, ϕy D 1 pΩq,DpΩq “ p´1q
|α|
xu, D
α ϕy D 1 pΩq,DpΩq .
D´ efinition 1.5.1 On d´ efinit les espaces de Sobolev H
m
pΩq de la mani` ere
suivante :
H
1
pΩq “ t u P L
2
pΩq |
Bu
Bx i
P L
2
pΩq, i “ 1 ¨ ¨ ¨ n u ,
H
m
pΩq “ t u P D
1
pΩq | D
α u P L
2
pΩq, |α| ď m u .
Remarque 1.5.1 H
0
pΩq “ L
2
pΩq.
Nous allons ´ enoncer une s´ erie de propri´ et´ es des espaces de Sobolev, sans
d´ emonstration. On pourra consulter [35] par exemple.
Proposition 1.5.1 H
m
pΩq muni du produit scalaire :
xu, vy m “
ÿ
|α|ďm
ż
Ω
D
α upxq D
α vpxq dx ,
est un espace de Hilbert.
Proposition 1.5.2
H
m
pΩq Ă H
m
1 pΩq
et l’injection est continue, pour m ě m
1 .
D´ efinition 1.5.2
H
1
0 pΩq “ t u P H
1
pΩq | u |Γ “ 0 u .
A.5 Espaces de Sobolev