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f puq “ max
u ˚ PX 1
pxu
˚ , uy ´ f
˚
pu
˚
qq .
Preuve. Voir [13] p. 89.
l
Terminons par un r´ esultat de bi-dualit´ e qui est un corollaire du th´ eor` eme
pr´ ec´ edent dans le cas o` u X est r´ eflexif. Ce r´ esultat est encore vrai si mˆ eme
si X n’est pas r´ eflexif.
Th´ eor` eme 1.4.8 Soit f une fonction propre, convexe et semi-continue
de X dans R Y t`8u. Alors f
˚˚
“ f .
Th´ eor` eme 1.4.9 Soit f : X Ñ R Y t`8u et f
˚ sa conjugu´ ee. Alors
u
˚
P Bf puq ðñ f puq ` f
˚
pu
˚
q “ xu
˚ , uy .
Preuve. Soit u
˚
P Bf puq :
@v P X
f pvq ě f puq ` xu
˚ , v ´ uy .
Donc
f
˚
pu
˚
q ě xu
˚ , u ´ f puq ě suptxu
˚ , vy ´ f pvq | v P X u “ f
˚
pu
˚
q.
On obtient : f puq ` f
˚
pu
˚
q “ xu
˚ , uy.
R´ eciproquement, si f puq ` f
˚
pu
˚
q “ xu
˚ , uy on a pour tout v P X
xu
˚ , uy ´ f puq “ f
˚
pu
˚
q ě xu
˚ , vy ´ f pvq,
xu
˚ , v ´ uy ď f pvq ´ f puq,
c’est-` a-dire u
˚
P Bf puq.
l
Corollaire 1.4.3 Si f : X Ñ RYt`8u est convexe, propre et semi-continue
inf´ erieurement, alors
u
˚
P Bf puq ðñ u P Bf
˚
pu
˚
q.
Preuve. Il suffit d’appliquer le th´ eor` eme pr´ ec´ edent `
a f
˚ et d’utiliser le fait
que lorsque f est convexe, propre et sci alors f “ f
˚˚ .
l
A.4.4 Lien avec le sous-diff´ erentiel
A.4 Analyse convexe et analyse non lisse
inf´ erieurement