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A Quelques outils math´ ematiques
Soit u P X et s “ α ´ gpuq : le couple pu, sq est dans D. Donc
@u P X
´ xu
˚
o , uy ` α ´ gpuq ď ´c.
D’autre part l’in´ egalit´ e (1.19) peut s’´ etendre `
a ¯
C et par convexit´ e
¯
C “ tpu, tq P X ˆ R | f puq ď t u ;
on peut donc l’appliquer au couple pu, f puq pour tout u P X ce qui donne
c ě xu
˚
o , uy ´ f puq.
Finalement,
g
˚
p´u
˚
o q ď ´c ´ α et f
˚
pu
˚
o q ď c.
Donc
α ď ´f
˚
pu
˚
o q ´ g
˚
p´u
˚
o q ď β ď α
ce qui finit la d´ emonstration.
Cas o` u s o “ 0 : comme f est continue en u o on peut trouver une boule
Bpu o , Rq avec R ą 0 incluse dans dom f . On a alors pu o , α ´ gpu o qq P D et
pour tout w P Bpu o , Rq, pu o ` w, f pu o q ` ε o q P C : d’o` u
xu
˚
o , u o ` wy ď c ď xu
˚
o , u o y.
Ceci entraˆ ıne que u
˚
o “ 0 et une contradiction puisque pu
˚
o , s o q ‰ p0, 0q. l
Remarque 1.4.3 Notons que dans le th´ eor` eme le ! sup " dans le terme de
droite est toujours atteint (c’est un ! max " ) ce qui n’est pas le cas dans le
terme de gauche. o` u l’inf n’est pas n´ ecessairement atteint.
Corollaire 1.4.2 Soit f : X Ñ R Y t`8u une fonction convexe continue en
u P X . Alors
f puq “ max
u ˚ PX 1
pxu
˚ , uy ´ f
˚
pu
˚
qq .
Preuve. Posons g “ 1 tuu . On a g
˚
pu
˚
q “ xu
˚ , uy pour tout u
˚
P X
1 . Les
fonctions f et g sont convexes et f est continue en u P dom g. On a donc
d’apr` es le th´ eor` eme pr´ ec´ edent :
f puq “ inf
uPX
pf ` gqpuq
“ max
u ˚ PX 1
p´f
˚
pu
˚
q ´ g
˚
p´u
˚
qq “ max
u ˚ PX 1
pxu
˚ , uy ´ f
˚
pu
˚
qq .
l
On peut g´ en´ eraliser ce r´ esultat ` a des fonctions convexes semi-continues
inf´ erieurement.
Th´ eor` eme 1.4.7 Soit f : X Ñ R Y t`8u une fonction convexe semicontinue inf´ erieurement. Alors, pour tout u P X