203
Posons K “ tu
˚
P X
˚
| f
˚
pu
˚
q “ 0 u. On vient de montrer que f
˚
“ 1 K .
Comme f
˚ est convexe et semi-continue inf´ erieurement, K est convexe et
ferm´ e.
l
Nous allons maintenant donner un r´ esultat reliant f ` g et f
˚
` g
˚ qui est
le fondement de la th´ eorie de la dualit´ e en analyse convexe :
Th´ eor` eme 1.4.6 Soient f, g : X Ñ R Y t`8u des fonctions convexes telles
qu’il existe u o P dom g avec f continue en u o . Alors
inf
uPX
pf puq ` gpuqq “ max
u ˚ PX 1
p´f
˚
pu
˚
q ´ g
˚
p´u
˚
qq .
Preuve. Posons
α “ inf
uPX
pf puq ` gpuqq et β “ sup
u ˚ PX 1
p´f
˚
pu
˚
q ´ g
˚
p´u
˚
qq .
Soient u P X et u
˚
P X
1 : par d´ efinition on a
´f
˚
pu
˚
q ď ´xu
˚ , uy ` f puq et ´ g
˚
p´u
˚
q ď xu
˚ , uy ` gpuq,
donc
´f
˚
pu
˚
q ´ g
˚
p´u
˚
q ď f puq ` gpuq ;
en passant au sup sur le terme de gauche et `
a l’inf sur celui de droite, on
obtient
β ď α.
Montrons l’in´ egalit´ e inverse. Comme u o Pdom f X dom g, α P R Y t´8u. Si
α “ ´8, le th´ eor` eme est d´ emontr´ e. On peut donc supposer que α P R. Soient
C “ intptpu, tq P X ˆ R | f puq ď t uq,
et
D “ tpu, tq P X ˆ R | t ď α ´ gpuq uq ‰ H.
Comme f et g sont convexes, C et D sont convexes. Comme f est continue en
u o , C est non vide. De plus C X D “ H. On peut donc appliquer le th´ eor` eme
de Hahn-Banach : on peut trouver pu
˚
o , s o q P X
1
ˆ Rzt0, 0u et c P R tels que
@pv, sq P D
xu
˚
o , vy ` ss o ě c,
et
@pw, σq P C
cě xu
˚
o , wy ` σs o .
(1.19)
Comme σ peut tendre vers `8 d’apr` es la d´ efinition de C, on obtient s o ď 0.
Supposons que s o ‰ 0. Dans ce cas, s o ă 0 et (quitte ` a diviser tout par |s o |)
on peut supposer que s o “ ´1. On obtient
@pv, sq P D
´ xu
˚
o , vy ` s ď ´c.
A.4 Analyse convexe et analyse non lisse
Posons K “ tu
˚
P X
˚
| f
˚
pu
˚
q “ 0 u. On vient de montrer que f
˚
“ 1 K .
Comme f
˚ est convexe et semi-continue inf´ erieurement, K est convexe et
ferm´ e.
l
Nous allons maintenant donner un r´ esultat reliant f ` g et f
˚
` g
˚ qui est
le fondement de la th´ eorie de la dualit´ e en analyse convexe :
Th´ eor` eme 1.4.6 Soient f, g : X Ñ R Y t`8u des fonctions convexes telles
qu’il existe u o P dom g avec f continue en u o . Alors
inf
uPX
pf puq ` gpuqq “ max
u ˚ PX 1
p´f
˚
pu
˚
q ´ g
˚
p´u
˚
qq .
Preuve. Posons
α “ inf
uPX
pf puq ` gpuqq et β “ sup
u ˚ PX 1
p´f
˚
pu
˚
q ´ g
˚
p´u
˚
qq .
Soient u P X et u
˚
P X
1 : par d´ efinition on a
´f
˚
pu
˚
q ď ´xu
˚ , uy ` f puq et ´ g
˚
p´u
˚
q ď xu
˚ , uy ` gpuq,
donc
´f
˚
pu
˚
q ´ g
˚
p´u
˚
q ď f puq ` gpuq ;
en passant au sup sur le terme de gauche et `
a l’inf sur celui de droite, on
obtient
β ď α.
Montrons l’in´ egalit´ e inverse. Comme u o Pdom f X dom g, α P R Y t´8u. Si
α “ ´8, le th´ eor` eme est d´ emontr´ e. On peut donc supposer que α P R. Soient
C “ intptpu, tq P X ˆ R | f puq ď t uq,
et
D “ tpu, tq P X ˆ R | t ď α ´ gpuq uq ‰ H.
Comme f et g sont convexes, C et D sont convexes. Comme f est continue en
u o , C est non vide. De plus C X D “ H. On peut donc appliquer le th´ eor` eme
de Hahn-Banach : on peut trouver pu
˚
o , s o q P X
1
ˆ Rzt0, 0u et c P R tels que
@pv, sq P D
xu
˚
o , vy ` ss o ě c,
et
@pw, σq P C
cě xu
˚
o , wy ` σs o .
(1.19)
Comme σ peut tendre vers `8 d’apr` es la d´ efinition de C, on obtient s o ď 0.
Supposons que s o ‰ 0. Dans ce cas, s o ă 0 et (quitte ` a diviser tout par |s o |)
on peut supposer que s o “ ´1. On obtient
@pv, sq P D
´ xu
˚
o , vy ` s ď ´c.
A.4 Analyse convexe et analyse non lisse