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A Quelques outils math´ ematiques
1 A pxq “
"
0 si x P A,
`8 sinon.
Exemple 1.4.1 Soit A un ensemble et f pxq “ dpx, Aq. Alors f
˚
“ σ A ` 1 B ˚
o` u B est la boule unit´ e de X
1 .
Si f : u Þ Ñ }u} X (o` u } ¨ } X d´ esigne la norme de X ), alors f
˚
“ 1 B ˚
Proposition 1.4.2 Pour toute fonction f : X Ñ R Y t`8u, la fonction f
˚
est convexe et semi-continue inf´ erieurement pour la topologie faible *.
Preuve. Par d´ efinition
f
˚
“ sup
uPdomf
ϕ u ,
o` u dom f est le domaine de f ( i.e. l’ensemble des ´ el´ ements u P X tels que
f puq est finie) et ϕ u : X
1
Ñ R est d´ efinie par
ϕ u pu
˚
q “ xu
˚ , uy ´ f puq.
Chacune des fonctions ϕ u est affine et continue, donc convexe et semicontinue inf´ erieurement pour la topologie faible* de X
1 . Il en est de mˆ eme
pour le sup.
l
Plus g´ en´ eralement
Proposition 1.4.3 Soit f une fonction positivement homog` ene (propre) de
X dans R Y t`8u, c’est-` a-dire v´ erifiant
@λ P R, @x P X
f pλxq “ |λ|f pxq .
Alors sa conjugu´ ee f
˚ est l’indicatrice d’un sous-ensemble K convexe et ferm´ e
de X
1 .
Preuve. Soit f une fonction positivement homog` ene (propre) de X dans R Y
t`8u. Soit u
˚
P X
1 . Deux cas se pr´ esentent :
‚ Du o P X tel que xu
˚ , u o y ´ f pu o q ą 0. Alors par homog´ en´ eit´ e, pour tout
λ ą 0
xu
˚ , λu o y ´ f pλu o q “ λrxu
˚ , u o y ´ f pu o qs ď f
˚
pu
˚
q.
Donc, en passant ` a la limite pour λ Ñ `8 on obtient f
˚
pu
˚
q “ `8.
‚ Dans le cas contraire
@u P X
xu
˚ , uy ´ f puq ď 0,
et donc f
˚
pu
˚
q ď 0. Or par d´ efinition de f
˚ ,
xu
˚ , 0y ´ f p0q ď f
˚
pu
˚
q ;
comme f est positivement homog` ene f p0q “ f pn ¨ 0q “ nf p0q pour tout n P N
et donc f p0q “ 0. On a donc finalement : f
˚
pu
˚
q “ 0.