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Proposition 1.4.1 Soit u P K, o` u K est un sous-ensemble ferm´ e, convexe
non vide de X espace de Hilbert. Alors, pour tout r´ eel c strictement positif,
λ P B1 K puq ðñ λ “ cru `
λ
c
´ P K pu `
λ
c
qs
o` u P K est la projection de X sur le convexe K.
Preuve. Remarquons tout d’abord que B1 K puq est un sous-ensemble de X .
On rappelle ´ egalement que si P K est la projection de X sur le convexe ferm´ e
K, l’image P K pwq d’un ´ el´ ement quelconque w de X est caract´ eris´ ee par
@v P K
xw ´ P K pwq, v ´ P K pwqy X ď 0,
o` u x¨, ¨y X d´ esigne le produit scalaire de X . Soit λ P B1 K puq : λ est caract´ eris´ e
par
@v P K
xλ, v ´ uy X ď 0
c’est-` a-dire, pour tout c ą 0
@v P K
B
u `
λ
c
´ u, v ´ u
F
X
ď 0.
D’apr` es ce qui pr´ ec` ede (en posant w “ u `
λ
c
)
λ P B1 K puq ðñ u “ P K pu `
λ
c
q ðñ λ “ cru `
λ
c
´ P K pu `
λ
c
qs.
D´ efinition 1.4.4 Soit f : X Ñ R Y t`8u une fonction. La transform´ ee de
Legendre-Fenchel ou conjugu´ ee de f est la fonction f
˚ : X
1
Ñ ¯
R d´ efinie par
@ P X
1
f
˚
pq “ sup
uPX
t puq ´ f puq u.
(1.18)
Remarque 1.4.2 (a) Si on autorisait f ` a ! prendre " la valeur ´8, alors
f
˚
” `8. Si f est propre (c’est-` a-dire non identiquement ´ egale `
a `8) alors
f
˚ est `
a valeurs dans R Y t`8u.
(a) On notera comme pr´ ec´ edemment puq “ x, uy, o` u x¨, ¨y d´ esigne le produit
de dualit´ e entre X et X
1 . L’´ equation (1.18) s’´ ecrit alors
@u
˚
P X
1
f
˚
pu
˚
q “ sup
uPX
t xu
˚ , uy ´ f puq u.
D´ efinition 1.4.5 Soit A Ă X un ensemble (non vide). La fonction d’appui
de l’ensemble A est la fonction σ A : X
1
Ñ R Y t`8u d´ efinie par σ A “ p1 A q
˚
o` u 1 A d´ esigne l’indicatrice de A
A.4.3.1 Transformation de Legendre-Fenchel
A.4 Analyse convexe et analyse non lisse