200
A Quelques outils math´ ematiques
Bf puq “
č
vPX
tu
˚
P X
1
| xu
˚ , v ´ uy ď f pvq ´ f puq u,
Bf puq est un sous-ensemble convexe, ferm´ e pour la topologie faible *, comme
intersection de convexes ferm´ es.
4. Pour tout λ ą 0 on a Bpλf qpuq “ λBf puq.
Th´ eor` eme 1.4.3 (Lien avec la Gˆ ateaux-diff´ erentiabilit´ e) Soit f : X Ñ
R Y t`8u convexe.
Si f est Gˆ ateaux-diff´ erentiable en u P dom f , elle est sous-diff´ erentiable et
Bf puq “ tf
1
puqu.
R´ eciproquement, si f est finie, continue en u et ne poss` ede qu’un seul sousgradient, alors f est Gˆ ateaux-diff´ erentiable en u et Bf puq “ tf
1
puqu.
Th´ eor` eme 1.4.4 (Sous-diff´ erentiel d’une somme de fonctions) Soient
f et g convexes, semi-continues inf´ erieurement `
a valeurs dans R Y t`8u. On
suppose qu’il existe u o Pdom f X dom g tel que f soit continue en u o . Alors
@u P X
Bpf ` gqpuq “ Bf puq ` Bgpuq.
Nous terminons par le r´ esultat de composition suivant :
Th´ eor` eme 1.4.5 Soit Λ lin´ eaire continue de V dans W (espaces de Banach). Soit f convexe, semi-continue inf´ erieurement de W dans R Y t`8u
continue en au moins un point de son domaine (suppos´ e non vide). Alors
@u P V
Bpf ˝ Λqpuq “ Λ
˚
Bf pΛuq,
o` u Λ
˚ est l’op´ erateur adjoint de Λ.
Pour plus de d´ etails sur ces notions on peut consulter [13, 42]. Nous terminons
par un exemple important.
Dans le cas o` u f est la fonction indicatrice d’un sous-ensemble non vide K
de X :
f puq
def
“ 1 K puq “
"
0 si u P K,
`8 sinon
(1.17)
le sous-diff´ erentiel de f en u est appel´ e cˆ one normal de K en u :
B1 K puq “ N K puq “ t u
˚
P X
1
| xu
˚ , v ´ uy ď 0 pour tout v P K u.
Dans le cas o` u X est un espace de Hilbert identifi´ e ` a son dual, et K un
sous-ensemble ferm´ e, convexe non vide de X , nous allons pr´ eciser le sousdiff´ erentiel de 1 K en u (c’est-` a-dire le cˆ one normal `
a K en u ) :
A.4.3 Application `
a l’indicatrice d’un ensemble
A Quelques outils math´ ematiques
Bf puq “
č
vPX
tu
˚
P X
1
| xu
˚ , v ´ uy ď f pvq ´ f puq u,
Bf puq est un sous-ensemble convexe, ferm´ e pour la topologie faible *, comme
intersection de convexes ferm´ es.
4. Pour tout λ ą 0 on a Bpλf qpuq “ λBf puq.
Th´ eor` eme 1.4.3 (Lien avec la Gˆ ateaux-diff´ erentiabilit´ e) Soit f : X Ñ
R Y t`8u convexe.
Si f est Gˆ ateaux-diff´ erentiable en u P dom f , elle est sous-diff´ erentiable et
Bf puq “ tf
1
puqu.
R´ eciproquement, si f est finie, continue en u et ne poss` ede qu’un seul sousgradient, alors f est Gˆ ateaux-diff´ erentiable en u et Bf puq “ tf
1
puqu.
Th´ eor` eme 1.4.4 (Sous-diff´ erentiel d’une somme de fonctions) Soient
f et g convexes, semi-continues inf´ erieurement `
a valeurs dans R Y t`8u. On
suppose qu’il existe u o Pdom f X dom g tel que f soit continue en u o . Alors
@u P X
Bpf ` gqpuq “ Bf puq ` Bgpuq.
Nous terminons par le r´ esultat de composition suivant :
Th´ eor` eme 1.4.5 Soit Λ lin´ eaire continue de V dans W (espaces de Banach). Soit f convexe, semi-continue inf´ erieurement de W dans R Y t`8u
continue en au moins un point de son domaine (suppos´ e non vide). Alors
@u P V
Bpf ˝ Λqpuq “ Λ
˚
Bf pΛuq,
o` u Λ
˚ est l’op´ erateur adjoint de Λ.
Pour plus de d´ etails sur ces notions on peut consulter [13, 42]. Nous terminons
par un exemple important.
Dans le cas o` u f est la fonction indicatrice d’un sous-ensemble non vide K
de X :
f puq
def
“ 1 K puq “
"
0 si u P K,
`8 sinon
(1.17)
le sous-diff´ erentiel de f en u est appel´ e cˆ one normal de K en u :
B1 K puq “ N K puq “ t u
˚
P X
1
| xu
˚ , v ´ uy ď 0 pour tout v P K u.
Dans le cas o` u X est un espace de Hilbert identifi´ e ` a son dual, et K un
sous-ensemble ferm´ e, convexe non vide de X , nous allons pr´ eciser le sousdiff´ erentiel de 1 K en u (c’est-` a-dire le cˆ one normal `
a K en u ) :
A.4.3 Application `
a l’indicatrice d’un ensemble