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´
param´ etr´ ee
On rappelle que si M ptq est un point r´ egulier d’une courbe C
1 un vecteur
tangent `
a la courbe en M est d´ efini par
T “
dM
dt
ptq “ Θ
1
ptq .
On appelle vecteur normal ` a la courbe un vecteur N orthogonal ` a T
(xT, N y “ 0) .
Supposons maintenant que la courbe est C
2 et que tous ses points sont
r´ eguliers. Le param´ etrage par l’abscisse curviligne est alors aussi C
2 . On
suppose donc maintenant que la courbe Γ est param´ etr´ ee par une abscisse
curviligne. Alors le vecteur tangent
T psq “
dM
ds
psq
est d´ erivable et le vecteur
dT
ds
psq est ind´ ependant du choix de l’abscisse curviligne s.
D´ efinition 1.7.3 La courbure de Γ au point M ps o q est le nombre r´ eel
ρps o q “ }
dT
ds
ps o q} ě 0 .
Un point M de Γ est bi-r´ egulier si et seulement si sa courbure est non nulle.
Pr´ ecisons enfin tout cela dans un rep` ere du plan. Soit Γ une courbe C
2 ,
connexe, dont tous les points sont r´ eguliers. On la param` etre par une abscisse
curviligne s. Etant donn´ e un rep` ere p
Ý
Ñ
i ,
Ý
Ñ
j q on pose :
T psq “ cospφpsqq
Ý
Ñ
i ` sinpφpsqq
Ý
Ñ
j .
La d´ eriv´ ee
dφ
ds
psq est ind´ ependante du choix du rep` ere et de φ.
D´ efinition 1.7.4 La courbure alg´ ebrique de Γ au point M psq est le nombre
r´ eel
ρ a psq “
dφ
ds
psq .
On peut alors montrer que
ρpsq “ }ρ a psq} et
dT
ds
psq “ ρpsqN psq .
Pour plus de d´ etails on peut se r´ ef´ erer ` a [16].
A.7.2 Etude g´ eom´ etrique locale d’une courbe
A.7 G´ eom´ etrie des courbes planes