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Rappelons enfin le th´ eor` eme donnant une condition n´ ecessaire d’optimalit´ e
du premier ordre.
Th´ eor` eme 1.3.11 Soient K un sous-ensemble convexe, non vide de V et J
une fonctionnelle de K vers R Gˆ ateaux-diff´ erentiable sur K. Soit u dans V
une solution du probl` eme pPq. Alors
@v P K,
x∇Jpuq, v ´ uy ě 0.
(1.13)
Dans ce qui suit V est un espace de Hilbert muni d’un produit scalaire
x¨, ¨y et de la norme associ´ ee } ¨ } et C est un sous-ensemble non vide, convexe
et ferm´ e de V .
Th´ eor` eme 1.3.12 Etant donn´ es C un sous-ensemble convexe, ferm´ e et non
vide de V et x un ´ el´ ement quelconque de V , le probl` eme
min t }x ´ y}
2 , y P C u
a une solution unique x
˚
P C. De plus x
˚
P C est caract´ eris´ e par :
@y P C
xx ´ x
˚ , y ´ x
˚
y ď 0.
(1.14)
Le point x
˚ est le projet´ e de x sur C. L’application P C : V Ñ C qui ` a x
associe son projet´ e x
˚ est la projection de V sur C. Le projet´ e P C pxq est
donc le point de C qui est le ! plus pr` es " de x. Nous avons une seconde
caract´ erisation de x
˚ de mani` ere imm´ ediate :
Corollaire 1.3.4 Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme (1.3.12) on peut caract´ eriser le projet´ e x
˚
P C de x par :
@y P C
xx
˚
´ y, y ´ xy ď 0.
(1.15)
On d´ efinit de mani` ere classique la fonction distance d’un point x ` a l’ensemble
C par
dpx, Cq “ inf
yPC
}x ´ y}.
(1.16)
Dans le cas o` u C est un convexe ferm´ e, on vient donc de d´ emontrer que
dpx, Cq “ }x ´ P C pxq}.
Proposition 1.3.1 La projection P C est continue de V dans C. Plus
pr´ ecis´ ement on a
@px, yq P V ˆ V
}P C pxq ´ P C pyq} ď }x ´ y},
c’est-` a-dire P C est une contraction.
A.3.5 Exemple : Projection sur un convexe ferm´ e
A.3 Optimisation dans les espaces de Banach