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A Quelques outils math´ ematiques
@pu, vq P C ˆ C
x∇Jpuq ´ ∇Jpvq, u ´ vy ě 0.
(1.10)
Remarque 1.3.1 Supposons que ∇ soit un op´ erateur strictement monotone :
@pu, vq P C ˆ C, u ‰ v,
x∇Jpuq ´ ∇Jpvq, u ´ vy ą 0.
(1.11)
alors J est strictement convexe.
De mani` ere analogue, on d´ efinit la (Gˆ ateaux) d´ eriv´ ee seconde de J en
u, comme ´ etant la d´ eriv´ ee de la fonction (vectorielle) u Þ Ñ ∇Jpuq. On la
note D
2 Jpuq et on l’appellera Hessien par analogie avec le Hessien au sens
de Fr´ echet ; ce Hessien est identifiable `
a une matrice carr´ ee n ˆ n lorsque
V “ R
n .
Sauf mention du contraire, on suppose d´ esormais que V est un espace de
Banach r´ eflexif de dual (topologique) V
1 .
Commen¸ cons par un r´ esultat g´ en´ eral de minimisation d’une fonctionnelle
semi-continue sur un ensemble ferm´ e de V .
D´ efinition 1.3.5 On dit que J : V Ñ R est coercive si
lim
}x} V Ñ`8
Jpxq “ `8.
Th´ eor` eme 1.3.10 On suppose que V est un Banach r´ eflexif. Soit J une
fonctionnelle de V dans R Y t`8u, semi-continue inf´ erieurement pour la
topologie faible de V . Soit K un sous-ensemble non vide et faiblement ferm´ e
de V . On suppose que J est propre (c’est-` a-dire qu’il existe un ´ el´ ement v o de
K tel que Jpv o q ă `8). Alors le probl` eme de minimisation suivant :
pPq
"
Trouver u tel que
Jpuq “ inf t Jpvq | v P K u,
(1.12)
admet au moins une solution dans l’un des cas suivants :
– soit J est coercive i.e.
lim
}v} V Ñ`8
Jpvq “ `8,
– soit K est born´ e.
Un corollaire important concerne le cas convexe.
Corollaire 1.3.3 On suppose que V est un Banach r´ eflexif. Soit J une fonctionnelle de V dans RYt`8u, propre, convexe et semi-continue inf´ erieurement
et K un sous-ensemble convexe non vide et ferm´ e de V . Si J est coercive ou
si K est born´ e, le probl` eme de minimisation admet une solution. Si, de plus,
J est strictement convexe la solution est unique.
A.3.4 Minimisation dans un Banach r´ eflexif
A Quelques outils math´ ematiques
@pu, vq P C ˆ C
x∇Jpuq ´ ∇Jpvq, u ´ vy ě 0.
(1.10)
Remarque 1.3.1 Supposons que ∇ soit un op´ erateur strictement monotone :
@pu, vq P C ˆ C, u ‰ v,
x∇Jpuq ´ ∇Jpvq, u ´ vy ą 0.
(1.11)
alors J est strictement convexe.
De mani` ere analogue, on d´ efinit la (Gˆ ateaux) d´ eriv´ ee seconde de J en
u, comme ´ etant la d´ eriv´ ee de la fonction (vectorielle) u Þ Ñ ∇Jpuq. On la
note D
2 Jpuq et on l’appellera Hessien par analogie avec le Hessien au sens
de Fr´ echet ; ce Hessien est identifiable `
a une matrice carr´ ee n ˆ n lorsque
V “ R
n .
Sauf mention du contraire, on suppose d´ esormais que V est un espace de
Banach r´ eflexif de dual (topologique) V
1 .
Commen¸ cons par un r´ esultat g´ en´ eral de minimisation d’une fonctionnelle
semi-continue sur un ensemble ferm´ e de V .
D´ efinition 1.3.5 On dit que J : V Ñ R est coercive si
lim
}x} V Ñ`8
Jpxq “ `8.
Th´ eor` eme 1.3.10 On suppose que V est un Banach r´ eflexif. Soit J une
fonctionnelle de V dans R Y t`8u, semi-continue inf´ erieurement pour la
topologie faible de V . Soit K un sous-ensemble non vide et faiblement ferm´ e
de V . On suppose que J est propre (c’est-` a-dire qu’il existe un ´ el´ ement v o de
K tel que Jpv o q ă `8). Alors le probl` eme de minimisation suivant :
pPq
"
Trouver u tel que
Jpuq “ inf t Jpvq | v P K u,
(1.12)
admet au moins une solution dans l’un des cas suivants :
– soit J est coercive i.e.
lim
}v} V Ñ`8
Jpvq “ `8,
– soit K est born´ e.
Un corollaire important concerne le cas convexe.
Corollaire 1.3.3 On suppose que V est un Banach r´ eflexif. Soit J une fonctionnelle de V dans RYt`8u, propre, convexe et semi-continue inf´ erieurement
et K un sous-ensemble convexe non vide et ferm´ e de V . Si J est coercive ou
si K est born´ e, le probl` eme de minimisation admet une solution. Si, de plus,
J est strictement convexe la solution est unique.
A.3.4 Minimisation dans un Banach r´ eflexif