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Corollaire 1.3.2 Soit V un espace de Banach. Alors V est r´ eflexif si et
seulement si V
1 est r´ eflexif.
convexes
Nous allons maintenant les propri´ et´ es de diff´ erentiabilit´ e utiles dans le
cadre de l’optimisation dans un Banach.
D´ efinition 1.3.4 Soit J une fonctionnelle de V dans RYt`8u. Le domaine
dompJq est d´ efini par
dompJq
def
“ tu P V | Jpuq ă `8u .
On dit que J est Gˆ ateaux-diff´ erentiable en u P dom pJq si la d´ eriv´ ee directionnelle
J
1
pu; vq “ lim
tÑ0 `
Jpu ` tvq ´ Jpuq
t
,
existe dans toute direction v de V et si l’application
v Þ Ñ J
1
pu; vq
est lin´ eaire continue.
De mani` ere g´ en´ erale on notera ∇Jpuq la Gˆ ateaux-diff´ erentielle de J en u.
C’est un ´ el´ ement du dual V
1 .
Si V est un espace de Hilbert, avec le th´ eor` eme de repr´ esentation de Riesz
(voir [18] par exemple) on identifie V et son dual ; on note alors
J
1
pu; vq “ x∇Jpuq, vy ,
o` u x¨, ¨y co¨ ıncide alors avec le produit scalaire de V . L’´ el´ ement ∇Jpuq de V
est le gradient de J en u.
Il est clair que si J est diff´ erentiable au sens classique en u (on dit alors
Fr´ echet - diff´ erentiable), alors J est Gˆ ateaux-diff´ erentiable en u, et la d´ eriv´ ee
classique et la d´ eriv´ ee au sens de Gˆ ateaux co¨ ıncident.
Th´ eor` eme 1.3.8 Soit J : C Ă V Ñ R, Gˆ ateaux diff´ erentiable sur C, avec C
convexe. J est convexe si et seulement si
@pu, vq P C ˆ C
Jpvq ě Jpuq ` x∇Jpuq, v ´ uy
(1.9)
Th´ eor` eme 1.3.9 Soit J : C Ă V Ñ R, Gˆ ateaux diff´ erentiable sur C, avec
C convexe. J est convexe si et seulement si ∇J est un op´ erateur monotone,
c’est-` a-dire
A.3.3 Ga ˆteaux-diff´ erentiabilit´ e des fonctionnelles
A.3 Optimisation dans les espaces de Banach