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A Quelques outils math´ ematiques
D´ efinition 1.3.3 Soit pϕ n q nPN une suite de V
1 . On dit que pϕ n q converge
vers ϕ pour la topologie faible*, et on note ϕ n
˚
á ϕ si
@x P V
xϕ n , xy Ñ xϕ, xy .
Attention, la topologie faible * n’est pas la topologie faible sur l’espace dual
V
1 . Ce n’est le cas que si V “ V ” (` a un isomorphisme pr` es) c’est-` a-dire si V
est un espace de Banach r´ eflexif.
Th´ eor` eme 1.3.5 Soit pϕ n q une suite de V
1 . On a
1. Si ϕ n
˚
á ϕ pour la topologie faible *, alors }ϕ n } V 1 est born´ ee et
}ϕ} ď lim inf
nÑ`8
}ϕ n } V 1 .
2. Si ϕ n
˚
á ϕ pour la topologie faible *, et si x n Ñ x fortement dans V , alors
xϕ n , x n y Ñ xϕ, xy .
Nous donnons maintenant un des th´ eor` emes de compacit´ e les plus importants de l’analyse fonctionnelle qui justifie l’utilisation de la topologie faible *.
C’est ! l’analogue " du th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass en dimension finie.
Nous admettrons ce th´ eor` eme.
Th´ eor` eme 1.3.6 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) Soit V une espace vectoriel norm´ e r´ eel. La boule unit´ e ferm´ ee de l’espace dual V
1
B V 1 “ t ϕ P V
1
| }ϕ} V 1 ď 1 u ,
est compacte pour la topologie faible *.
En d’autres termes, de toute suite born´ ee de V
1 on peut extraire une soussuite convergente pour la topologie faible *.
Dans le cas o` u V est un espace r´ eflexif, V est identifi´ e ` a son bidual V ” et
les topologies faible et faible * co¨ ıncident. Le th´ eor` eme 1.3.6 s’applique avec
V au lieu de V
1 . En fait, nous avons mˆ eme un r´ esultat plus fort puisqu’il
s’agit d’une caract´ erisation des espaces r´ eflexifs :
Th´ eor` eme 1.3.7 (Kakutani) Soit V un espace de Banach. Alors V est
r´ eflexif si et seulement si la boule unit´ e ferm´ ee de V
B V “ t x P V | }x} V ď 1 u ,
est compacte pour la topologie faible, c’est-` a-dire que de toute suite born´ ee de
V on peut extraire une sous-suite convergente pour la topologie faible.
Un corollaire imm´ ediat est le suivant :
A.3.2 Th´ eor` eme de compacit´ e
A Quelques outils math´ ematiques
D´ efinition 1.3.3 Soit pϕ n q nPN une suite de V
1 . On dit que pϕ n q converge
vers ϕ pour la topologie faible*, et on note ϕ n
˚
á ϕ si
@x P V
xϕ n , xy Ñ xϕ, xy .
Attention, la topologie faible * n’est pas la topologie faible sur l’espace dual
V
1 . Ce n’est le cas que si V “ V ” (` a un isomorphisme pr` es) c’est-` a-dire si V
est un espace de Banach r´ eflexif.
Th´ eor` eme 1.3.5 Soit pϕ n q une suite de V
1 . On a
1. Si ϕ n
˚
á ϕ pour la topologie faible *, alors }ϕ n } V 1 est born´ ee et
}ϕ} ď lim inf
nÑ`8
}ϕ n } V 1 .
2. Si ϕ n
˚
á ϕ pour la topologie faible *, et si x n Ñ x fortement dans V , alors
xϕ n , x n y Ñ xϕ, xy .
Nous donnons maintenant un des th´ eor` emes de compacit´ e les plus importants de l’analyse fonctionnelle qui justifie l’utilisation de la topologie faible *.
C’est ! l’analogue " du th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass en dimension finie.
Nous admettrons ce th´ eor` eme.
Th´ eor` eme 1.3.6 (Banach-Alaoglu-Bourbaki) Soit V une espace vectoriel norm´ e r´ eel. La boule unit´ e ferm´ ee de l’espace dual V
1
B V 1 “ t ϕ P V
1
| }ϕ} V 1 ď 1 u ,
est compacte pour la topologie faible *.
En d’autres termes, de toute suite born´ ee de V
1 on peut extraire une soussuite convergente pour la topologie faible *.
Dans le cas o` u V est un espace r´ eflexif, V est identifi´ e ` a son bidual V ” et
les topologies faible et faible * co¨ ıncident. Le th´ eor` eme 1.3.6 s’applique avec
V au lieu de V
1 . En fait, nous avons mˆ eme un r´ esultat plus fort puisqu’il
s’agit d’une caract´ erisation des espaces r´ eflexifs :
Th´ eor` eme 1.3.7 (Kakutani) Soit V un espace de Banach. Alors V est
r´ eflexif si et seulement si la boule unit´ e ferm´ ee de V
B V “ t x P V | }x} V ď 1 u ,
est compacte pour la topologie faible, c’est-` a-dire que de toute suite born´ ee de
V on peut extraire une sous-suite convergente pour la topologie faible.
Un corollaire imm´ ediat est le suivant :
A.3.2 Th´ eor` eme de compacit´ e