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Une fonction J de V dans R Y t`8u sera continue en x P V pour la topologie
faible s´ equentielle si
@x n á x (faible) Jpx n q Ñ Jpxq .
Une fonction continue pour la convergence faible s´ equentielle l’est aussi
pour la convergence forte s´ equentielle puisque que la convergence forte d’une
suite entraˆ ıne sa convergence faible. Plus pr´ ecis´ ement, si J est faiblement
continue en x , pour toute suite x n qui converge fortement vers x on a :
x n Ñ x ùñ x n á x ùñ Jpx n q Ñ Jpxq ,
et donc J est continue pour la topologie forte s´ equentielle.
La r´ eciproque est fausse dans le cas g´ en´ eral. Nous verrons qu’elle est vraie,
sous certaines conditions, dans le cas des op´ erateurs lin´ eaires. Elle est ! en
partie " vraie pour les fonctions convexes. Pr´ ecisons ce que que signifie ! en
partie ", en d´ efinissant la notion de semi-continuit´ e :
D´ efinition 1.3.2 Une fonction J de V dans R Y t`8u est semi-continue
inf´ erieurement (sci) sur V si elle satisfait aux conditions ´ equivalentes :
– @a P R,
t u P V | Jpuq ď a u est ferm´ e
– @¯ u P V,
lim inf
uѯ u
Jpuq ě Jp¯ uq.
Th´ eor` eme 1.3.4 Toute fonction convexe sci pour la topologie forte (celle de
la norme) de V est encore sci pour la topologie faible de V .
En pratique ce r´ esultat s’utilise sous la forme du corollaire suivant :
Corollaire 1.3.1 Soit J une fonctionnelle convexe de V dans R Y t`8u
sci (par exemple continue) pour la topologie forte. Si v n est une suite de V
faiblement convergente vers v alors
Jpvq ď lim inf
nÑ`8
Jpv n q.
On retrouve le fait que si x n á x faiblement dans V alors
}x} V ď lim inf
nÑ`8
}x n } V ;
en effet x Ñ }x} V est une application convexe, continue ( donc sci ) forte,
donc sci faible.
Nous allons maintenant pr´ esenter une topologie sur V
1 qu’on appelle la
topologie faible * s´ equentielle.
A.3.1.3 Topologie faible *
A.3 Optimisation dans les espaces de Banach