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A Quelques outils math´ ematiques
Dans cette section, on pr´ esente la topologie faible s´ equentielle qui est la
seule dont nous aurons besoin pour cet ouvrage. Pour la notion de topologie
faible et plus de d´ etails on renvoie `
a [18].
D´ efinition 1.3.1 Soit px n q nPN une suite de V . On dit que
– px n q converge fortement vers x et on note x n Ñ x si }x n ´ x} V Ñ 0
o` u } ¨ } V d´ esigne la norme de V ;
– px n q converge faiblement vers x et on note x n á x si
@ϕ P V
1
xϕ, x n y Ñ xϕ, xy .
Th´ eor` eme 1.3.1 Soit px n q une suite de V . On a
1. Si x n Ñ x fortement, alors x n á x faiblement.
2. Si x n á x faiblement, alors }x n } V est born´ ee et }x} V ď lim inf }x n } V .
3. Si x n á x faiblement et si ϕ n Ñ ϕ fortement dans V
1 (c’est-` a-dire si
}ϕ n ´ ϕ} V 1 Ñ 0), alors xϕ, x n y Ñ xϕ, xy .
On vient de voir qu’une suite qui converge fortement converge faiblement.
La r´ eciproque est fausse : elle n’est vraie que si l’espace V est de dimension
finie.
Th´ eor` eme 1.3.2 Lorsque V est de dimension finie, la topologie faible s´ equentielle et la topologie forte usuelle co¨ ıncident. En particulier une suite px n q
converge faiblement si et seulement si elle converge fortement.
Tout ensemble ferm´ e pour la topologie (s´ equentielle) faible, l’est aussi pour
la topologie forte : en effet si C est ferm´ e faible, toute suite de C convergente
fortement est aussi faiblement convergente : donc sa limite faible (qui est aussi
sa limite forte) est dans C. La r´ eciproque est en g´ en´ eral fausse. Toutefois pour
les ensembles convexes les deux notions co¨ ıncident.
Th´ eor` eme 1.3.3 Soit C un sous-ensemble convexe d’un Banach V . Alors
C est faiblement (s´ equentiellement) ferm´ e si et seulement s’il est fortement
ferm´ e.
Ce th´ eor` eme est une cons´ equence directe du th´ eor` eme de Hahn-Banach A.4.1.
Pr´ ecisons maintenant la notion de continuit´ e d’une fonction (ou fonctionnelle)
J d’un espace de Banach de V dans R Y t`8u. On rappelle qu’une fonction
est continue en x P V pour la topologie forte s´ equentielle si
@x n Ñ x (fort) Jpx n q Ñ Jpxq .
A.3.1.1 Topologie faible s´ equentielle
A.3.1.2 Topologie faible (s´ equentielle) et convexit´ e
A Quelques outils math´ ematiques
Dans cette section, on pr´ esente la topologie faible s´ equentielle qui est la
seule dont nous aurons besoin pour cet ouvrage. Pour la notion de topologie
faible et plus de d´ etails on renvoie `
a [18].
D´ efinition 1.3.1 Soit px n q nPN une suite de V . On dit que
– px n q converge fortement vers x et on note x n Ñ x si }x n ´ x} V Ñ 0
o` u } ¨ } V d´ esigne la norme de V ;
– px n q converge faiblement vers x et on note x n á x si
@ϕ P V
1
xϕ, x n y Ñ xϕ, xy .
Th´ eor` eme 1.3.1 Soit px n q une suite de V . On a
1. Si x n Ñ x fortement, alors x n á x faiblement.
2. Si x n á x faiblement, alors }x n } V est born´ ee et }x} V ď lim inf }x n } V .
3. Si x n á x faiblement et si ϕ n Ñ ϕ fortement dans V
1 (c’est-` a-dire si
}ϕ n ´ ϕ} V 1 Ñ 0), alors xϕ, x n y Ñ xϕ, xy .
On vient de voir qu’une suite qui converge fortement converge faiblement.
La r´ eciproque est fausse : elle n’est vraie que si l’espace V est de dimension
finie.
Th´ eor` eme 1.3.2 Lorsque V est de dimension finie, la topologie faible s´ equentielle et la topologie forte usuelle co¨ ıncident. En particulier une suite px n q
converge faiblement si et seulement si elle converge fortement.
Tout ensemble ferm´ e pour la topologie (s´ equentielle) faible, l’est aussi pour
la topologie forte : en effet si C est ferm´ e faible, toute suite de C convergente
fortement est aussi faiblement convergente : donc sa limite faible (qui est aussi
sa limite forte) est dans C. La r´ eciproque est en g´ en´ eral fausse. Toutefois pour
les ensembles convexes les deux notions co¨ ıncident.
Th´ eor` eme 1.3.3 Soit C un sous-ensemble convexe d’un Banach V . Alors
C est faiblement (s´ equentiellement) ferm´ e si et seulement s’il est fortement
ferm´ e.
Ce th´ eor` eme est une cons´ equence directe du th´ eor` eme de Hahn-Banach A.4.1.
Pr´ ecisons maintenant la notion de continuit´ e d’une fonction (ou fonctionnelle)
J d’un espace de Banach de V dans R Y t`8u. On rappelle qu’une fonction
est continue en x P V pour la topologie forte s´ equentielle si
@x n Ñ x (fort) Jpx n q Ñ Jpxq .
A.3.1.1 Topologie faible s´ equentielle
A.3.1.2 Topologie faible (s´ equentielle) et convexit´ e