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A Quelques outils math´ ematiques
Remarque 1.3.2 1. Si x P C alors P C pxq “ x. Plus g´ en´ eralement si C “ V
alors P C “ Id V .
2. Le th´ eor` eme 1.3.12 est faux si C n’est pas convexe ou si C n’est pas ferm´ e.
3. La projection P C n’est pas diff´ erentiable en g´ en´ eral, mais l’application
x Þ Ñ }x ´ P C pxq}
2 l’est.
Exemple 1.3.1 (Projection sur un sous-espace vectoriel) Dans le cas
o` u C est un sous-espace vectoriel ferm´ e de V , c’est bien sˆ ur un convexe ferm´ e
non vide. L’op´ erateur de projection est dans ce cas lin´ eaire (c’est faux dans
le cas g´ en´ eral). Le projet´ e x
˚ d’un ´ el´ ement x, sur C, est caract´ eris´ e par
@y P C
xx ´ x
˚ , yy “ 0.
Cela signifie que x ´ x
˚
P C
K (l’orthogonal de C). On retrouve ainsi la
classique projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel ferm´ e.
Dans ce qui suit X est un espace de Banach r´ eel de dual X
1 (pas
n´ ecessairement r´ eflexif). On d´ esigne par x¨, ¨y le produit de dualit´ e entre X
et X
1 :
@ϕ P X
1 , @x P X
xϕ, xy “ ϕpxq .
Le th´ eor` eme de Hahn-Banach, sous sa forme g´ eom´ etrique, permet de
s´ eparer des ensembles convexes. Il est tr` es important en analyse convexe et
sert en particulier `
a exhiber des multiplicateurs en optimisation. Nous rappelons ici la forme g´ eom´ etrique de ce th´ eor` eme qui est la seule utile dans notre
cas, ainsi que des corollaires importants. Pour les d´ emonstrations et plus de
pr´ ecisions nous renvoyons `
a [18].
D´ efinition 1.4.1 (Hyperplan affine) Un hyperplan affine ferm´ e est un
ensemble de la forme
H “ t x P X | xα, xy ` β “ 0 u,
o` u α P X
1 est une forme lin´ eaire continue non nulle sur X et β P R.
Dans le cas o` u X est un espace de Hilbert V (en particulier si V “ R
n ),
on peut identifier V ` a son dual et tout hyperplan affine ferm´ e est de la forme
H “ t x P V | xα, xy ` β “ 0 u,
o` u x¨, ¨y d´ esigne alors le produit scalaire de V , α P V, α ‰ 0 et β P R.
A.4 Analyse convexe et analyse non lisse
A.4.1 Th´ eor` eme de Hahn-Banach
A Quelques outils math´ ematiques
Remarque 1.3.2 1. Si x P C alors P C pxq “ x. Plus g´ en´ eralement si C “ V
alors P C “ Id V .
2. Le th´ eor` eme 1.3.12 est faux si C n’est pas convexe ou si C n’est pas ferm´ e.
3. La projection P C n’est pas diff´ erentiable en g´ en´ eral, mais l’application
x Þ Ñ }x ´ P C pxq}
2 l’est.
Exemple 1.3.1 (Projection sur un sous-espace vectoriel) Dans le cas
o` u C est un sous-espace vectoriel ferm´ e de V , c’est bien sˆ ur un convexe ferm´ e
non vide. L’op´ erateur de projection est dans ce cas lin´ eaire (c’est faux dans
le cas g´ en´ eral). Le projet´ e x
˚ d’un ´ el´ ement x, sur C, est caract´ eris´ e par
@y P C
xx ´ x
˚ , yy “ 0.
Cela signifie que x ´ x
˚
P C
K (l’orthogonal de C). On retrouve ainsi la
classique projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel ferm´ e.
Dans ce qui suit X est un espace de Banach r´ eel de dual X
1 (pas
n´ ecessairement r´ eflexif). On d´ esigne par x¨, ¨y le produit de dualit´ e entre X
et X
1 :
@ϕ P X
1 , @x P X
xϕ, xy “ ϕpxq .
Le th´ eor` eme de Hahn-Banach, sous sa forme g´ eom´ etrique, permet de
s´ eparer des ensembles convexes. Il est tr` es important en analyse convexe et
sert en particulier `
a exhiber des multiplicateurs en optimisation. Nous rappelons ici la forme g´ eom´ etrique de ce th´ eor` eme qui est la seule utile dans notre
cas, ainsi que des corollaires importants. Pour les d´ emonstrations et plus de
pr´ ecisions nous renvoyons `
a [18].
D´ efinition 1.4.1 (Hyperplan affine) Un hyperplan affine ferm´ e est un
ensemble de la forme
H “ t x P X | xα, xy ` β “ 0 u,
o` u α P X
1 est une forme lin´ eaire continue non nulle sur X et β P R.
Dans le cas o` u X est un espace de Hilbert V (en particulier si V “ R
n ),
on peut identifier V ` a son dual et tout hyperplan affine ferm´ e est de la forme
H “ t x P V | xα, xy ` β “ 0 u,
o` u x¨, ¨y d´ esigne alors le produit scalaire de V , α P V, α ‰ 0 et β P R.
A.4 Analyse convexe et analyse non lisse
A.4.1 Th´ eor` eme de Hahn-Banach