190
A Quelques outils math´ ematiques
La fonction d’´ echelle 2D Ψ est associ´ ee `
a une approximation multir´ esolution
de L
2
pR
2
q :
L
2
pRq “ V o
`8
à
j“0
W j “
`8
à
j“´8
W j ,
o` u
V j`1 “ V j ‘ W j , et V j “ V j b V j .
On voit alors que
V j`1 “ V j`1 b V j`1 “ V j b V j
loomoon
V j
‘ pV j b W j q ‘ pW j b V j q ‘ pW j b W j q
loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon
W j
.
Donc
W j “ pV j b W j q ‘ pW j b V j q ‘ pW j b W j q,
et la fonction d’´ echelle 2D Φ “ φ b φ est d´ efinie par
Φ “ φ b φ : px, yq Þ Ñ φpxqφpyq,
et les ondelettes 2D horizontale, verticale et diagonale sont d´ efinies par
Ψ
h
px, yq “ φpxqψpyq, Ψ
v
px, yq “ ψpxqφpyq, Ψ
d
px, yq “ ψpxqψpyq.
La famille
tΨ
h
j,k , Ψ
v
j,k Ψ
d
j,k u, k “ pk x , k y q P Z
2 , j P Z, ,
o` u
Ψ
h,v,d
j,k px, yq “ 2
j
2 Ψ
h,v,d
p2
j x ´ k x , 2
j y ´ k y q,
est une base hilbertienne de L
2
pR
2
q.
La transform´ ee en ondelette rapide consiste alors `
a calculer les coefficients
d’ondelettes sur une grille 2D : Toute fonction f ` a support compact (par
exemple dans L
2
pr0, 1s ˆ r0, 1sq se d´ ecompose de la mani` ere suivante :
f “ c 0 `
`8
ÿ
j“0
2
j ´1
ÿ
k x ,k y “0
`
d
h
j,k Ψ
h
j,k ` d
v
j,k Ψ
v
j,k ` d
d
j,k Ψ
d
j,k
˘
,
avec j P N, 0 ď k x , k y ď 2
j
´ 1. En pratique les coefficients d’ondelette sont
stock´ es sous la forme suivante