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Dans le cas o` u l’ondelette est r´ eelle, isotrope, (ie radiale ψpxq “ hp}x}q, la
transform´ ee en ondelette d’une fonction f est d´ efinie par :
W fpa, bq “
1
a
ij
R 2
f pxqψ
ˆ
x ´ b
a
˙
dx .
L’int´ egrale sur θ n’apparaˆ ıt plus. Par le th´ eor` eme de Parseval on a :
W fpa, bq “ a
ij
R 2
ˆ
f pkq ˆ
ψ pakqe
2iπk¨b dk .
Cette propri´ et´ e signifie que la transform´ ee en ondelette filtre la fonction f
autour du nombre d’onde
k o
a .
Si ψ est admissible on a conservation de l’´ energie :
ij
R 2
|f pxq|
2 dx “
1
c ψ
ż `8
0
ij
R 2
|W fpa, bq|
2 da db
a 3 ,
et la formule de reconstruction :
f pxq “
1
c ψ
ż `8
0
ij
R 2
W fpa, bqψ a,b pxq
da db
a 3 ,
d’ondelettes 2D - AMR 2D [63]
Nous avons vu le principe de l’AMR dans le cas 1D et la fa¸ con de
d´ ecomposer une fonction de L
2
pRq sur une base orthogonale d’ondelettes.
La d´ ecomposition d’une fonction de L
2
pR
2
q se fait de la mˆ eme fa¸ con, chaque
fonction de base ´ etant le produit tensoriel de fonctions de bases 1D.
On se donne une base de L
2
pRq donn´ ee par une AMR d’ondelette ψ et de
fonction d’´ echelle φ.
L
2
pRq “ V o
`8
à
j“0
W j “
`8
à
j“´8
W j ,
et
V j`1 “ V j ‘ W j .
A.2.6 Transform´ ee en Ondelette isotrope
A.2.7 D´ ecomposition d’une fonction sur une base
A.2 Ondelettes