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A Quelques outils math´ ematiques
h 2n pxq “ p´1q
n
ˆ B
2
Bx 2 `
B
2
By 2
˙ n
e
´π}x}
2 .
Sa transform´ ee de Fourier est :
ˆ
h 2n pkq “ 4
n π
2n
}k}
2n e
´π}k}
2 .
h 2 est le laplacien de la fonction gaussienne, couramment utilis´ e en vision
par ordinateur. Dans la litt´ erature, h 2 est appel´ ee commun´ ement le chapeau
mexicain.
L’ondelette h 2n a exactement 2n moments nuls. Le maximum de sa transform´ ee de Fourier ˆ
h 2n trouve en k o “
‘
2n.
Soit ψ une ondelette 2D. La transform´ ee en ondelettes directionnelle d’une
fonction f P L
2
pR
2
q est d´ efinie par :
W fpa, b, θq “
ij
R 2
f pxqψ a,b,θ pxq dx “
1
a
ij
R 2
f pxqψ
ˆ
R ´θ
ˆ
x ´ b
a
˙˙
dx .
Par le th´ eor` eme de Parseval on a :
W fpa, b, θq “ a
ij
R 2
ˆ
f pkq ˆ
ψpaR ´θ kqe
2iπk¨b dk .
Formule de reconstruction : La fonction f peut ˆ etre reconstruite par la
formule suivante :
f pxq “
1
c ψ
ż `8
0
ż 2π
0
ij
R 2
W fpa, b, θqψ a,b,θ pxq
da
a 3 dθ db ,
avec
c ψ “
ij
R 2
| ˆ
ψpkq|
2
}k} 2 dk .
La conservation de l’´ energie s’´ ecrit avec les coefficients d’ondelettes :
ij
R 2
|f pxq|
2 dx “
1
c ψ
ż `8
0
ż 2π
0
ij
R 2
|W fpa, b, θq|
2 da
a 3 dθ db .
A.2.5 Transform´ ee en Ondelettes 2D directionnelle