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C j,k “ p Ć
C j´1 ˚ hq k ` p Ć
D j´1 ˚ gq k .
Pour plus de d´ etails sur ces r´ esultats et leurs d´ emonstrations, on peut se
r´ ef´ erer `
a [63].
Une fonction ψ P L
1
pR
2
q X L
2
pR
2
q est une ondelette si elle remplit la
condition d’admissibilit´ e suivante :
c ψ “
ij
R 2
| ˆ
ψpkq|
2
}k} 2 dk ă `8 .
Cette propri´ et´ e implique encore que
ij
R 2
ψpxq dx “ 0 .
Dans la pratique, on utilise souvent une condition plus forte en imposant `
a
l’ondelette un nombre p de moments nuls :
ij
R 2
x
n y
m ψpxq dx “ 0, @pn, mq tels que |n|`|m| ď p´1 et
ij
R 2
}x}
n ψpxq dx ‰ 0 ,
o` u x “ px, yq. Cette propri´ et´ e signifie que la transform´ ee de Fourier de l’ondelette doit s’annuler comme }k}
p en k “ 0 dans l’espace spectral.
`
A partir d’une ondelette ! m` ere " ψpxq , la famille d’ondelettes est d´ efinie
par dilatation, rotation et translation :
ψ p a, b, θqpxq “
1
a
ψ
ˆ
R θ
ˆ
x ´ b
a
˙˙
,
avec b P R
2 , a une ´ echelle positive et R θ la rotation d’angle θ de R
2 , de
matrice
„
cos θ sin θ
´ sin θ cos θ
j
.
Exemples
Ondelette de Morlet anisotrope : Soit u α “ pcos α, sin αq le vecteur unitaire
dans la direction α. L’ondelette de Morlet (complexe) est :
ψpxq “ e
´π}x}
2 e
2iπ5x¨u .
Ondelettes isotropes :
Laplaciens it´ er´ es de Gaussienne : pour n ě 1, on d´ efinit une ondelette h 2n
par :
A.2.4 Ondelettes 2D
A.2 Ondelettes