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A Quelques outils math´ ematiques
s j “
2
j ´1
ÿ
k“0
c j,k ϕ j,k
de V j s’´ ecrit aussi par d´ ecomposition
s j “
2
j´1 ´1
ÿ
k“0
c j´1,k ϕ j´1,k `
2
j´1 ´1
ÿ
k“0
d j´1,k ψ j,k .
Grˆ ace ` a l’orthogonalit´ e, on obtient
c j´1,k “ xf j , ϕ j´1,k y 2 “
C 2
j ´1
ÿ
n“0
c j,n ϕ j,n , ϕ j´1,k
G
2
“
2
j ´1
ÿ
n“0
c j,n xϕ j,n , ϕ j´1,k y 2 .
Avec la proposition (1.2.1) on conclut que @k “ 0, ¨ ¨ ¨ , 2
j´1
´ 1 :
c j´1,k “
2
j ´1
ÿ
n“0
c j,n h n´2k .
De mˆ eme
d j´1,k “
2
j ´1
ÿ
n“0
d j,n g n´2k ,
avec g n “ p´1q
1´n h 1´n .
En termes de convolution circulaire de p´ eriode 2
j ces ´ egalit´ es se r´ e´ ecrivent
(avec C j´1 “ pc j´1,k , k “ 0, ¨ ¨ ¨ , 2
j´1
´ 1, ¨ ¨ ¨ )
Convolution - d´ ecimation
c j´1,k “ pC j ˚ ¯
hq 2k , @k “ 0, ¨ ¨ ¨ , 2
j´1
´ 1
d j´1,k “ pD j ˚ ¯
gq 2k , @k “ 0, ¨ ¨ ¨ , 2
j´1
´ 1
avec ¯
h n “ h ´n et ¯
g n “ g ´n .
Recomposition : ` a partir des coefficients d’ondelettes et de la valeur
moyenne de la fonction : rc 0,0 , td j,k u, j “ 0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1, k “ 0, ¨ ¨ ¨ ; 2
j´1
s on
veut retrouver les coefficients C N . On utilise dans ce sens V j´1 ‘ W j´1 “ V j
pour j “ 0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1 :
c j,k “
2
j´1 ´1
ÿ
n“0
c j´1,n h k´2n `
2
j´1 ´1
ÿ
n“0
d j´1,n g k´2n
c’est-` a-dire en notant ˜
x n “ x p si n “ 2p et ˜
x n “ 0 si n “ 2p ` 1 :