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L
2
pRq “ V o
`8
à
j“0
W j “
`8
à
j“´8
W j ,
avec
W j “ Vectψ j,k : x Þ Ñ 2
j
2 ψp2
j x ´ kq| k P Z u.
Soit f P L
2
pRq. Sa d´ ecomposition en ondelettes s’´ ecrit :
f pxq “
ÿ
kPZ
c k ϕpx ´ kq
looooooomooooooon
V o
`
`8
ÿ
j“0
ÿ
kPZ
d j,k ψ j,k pxq “
`8
ÿ
j“´8
ÿ
kPZ
d j,k ψ j,k pxq ,
avec
c k “
ż
R
f pxqϕ p x ´ kq dx et d j,k “
ż
R
f pxqψ j,k pxq dx .
En pratique on cherche ` a avoir N moments nuls.
ondelettes - FWT
La transform´ ee en ondelette rapide d´ ecompose successivement P V j en une
approximation plus grossi` ere P V j´1 et en coefficients d’ondelettes correspondant `
a P W j´1 . Soit s un signal discret de longueur 2
N points. Ce signal peut
correspondre ` a l’´ echantillonnage d’un signal f d´ efini sur un intervalle ra, bs.
Si on pose
a k “ a `
k
2 N pb ´ aq , 0 ď k ď 2
N
´ 1 ,
on a spkq “ f pa k q par exemple. Le prolongement le plus simple est le prolongement p´ eriodique.
Etape 0 : on introduit les coefficients C N “ pc N,k q
c N,k » 2
´
N
2 spkq k “ 0, ¨ ¨ ¨ , 2
N
´ 1 ,
correspondant au niveau maximal de d´ etails (et donc `
a la plus grande ´ echelle).
On consid` ere alors la fonction s N P V N :
s N “
2
N ´1
ÿ
k“0
c N,k ϕ N,k .
D´ ecomposition : V N “ V o ‘ W o ‘ ¨ ¨ ¨ W N ´1 . On va d´ ecomposer le signal en
partant de l’´ echelle N pour aller jusqu’` a l’´ echelle 1.
Pour j “ N, ¨ ¨ ¨ , 1 on utilise : V j “ V j´1 ‘ W j´1 .
La fonction
A.2.3 Algorithme rapide de d´ ecomposition en
A.2 Ondelettes