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A Quelques outils math´ ematiques
L
2
pRq “ V o
`8
à
j“0
W j “
`8
à
j“´8
W j ,
La construction commence par la constatation que la fonction d’´ echelle ϕ P
V o Ă V 1 :
ϕpxq “
‘
2
ÿ
nPZ
h n ϕp2x ´ nq .
o` u les coefficients h n sont donn´ es par
h n “ xϕ, ϕ 1,n y L 2 “
‘
2
ż
R
ϕpxqϕp2x ´ nq dx .
On reconnaˆ ıt une convolution discr` ete correspondant ` a
ϕpxq “
‘
2ph ˚ ϕqp2xq ,
c’est-` a-dire aussi ph˚ϕqpxq “
1
‘
2
ϕp
x
2
q la suite h “ ph n q nPZ se comporte donc
comme un filtre : on l’appelle filtre miroir. En appliquant la transformation
de Fourier on a
ˆ
ϕp2ωq “
1
‘
2
ˆ
hpωq ˆ
ϕpωq ,
(1.8)
avec
ˆ
hpωq “
ÿ
nPZ
h n e
´inω .
En particulier ˆ
hp0q “
‘
2 .
On cherche donc une fonction ψ telle que pψ n : x Þ Ñ ψpx ´ nqq nPZ soit une
base de W o . Sous les hypoth` eses de l’AMR, une solution possible est donn´ ee
par le th´ eor` eme suivant :
Th´ eor` eme 1.2.1 Soit ϕ une fonction d’´ echelle et h le filtre miroir correspondant. Soit g le filtre conjugu´ e d´ efini par g n “ p´1q
1´n h 1´n . Soit ψ donn´ ee
par
ψpxq “
‘
2
ÿ
nPZ
g n ϕp2x ´ nq .
Soit ψ j,k : x Þ Ñ 2
j
2 ψp2
j x ´ kq, alors
1. pour j fix´ e, pψ j,k q kPZ est une base orthonorm´ ee de W j .
2. pψ j,k q k,jPZ est une base orthonorm´ ee de L
2
pRq.
Une telle fonction ψ est appel´ ee ondelette de l’AMR.
Proposition 1.2.1 Soient j, k, n P Z et pϕ j,k q j,kPZ la famille d´ efinie par
(1.7). Alors
xϕ j,n , ϕ j´1,k y “ h n´2k .
Nous obtenons donc