183
L
2
pRq
On peut construire une base orthonorm´ ee d’ondelettes grˆ ace `
a l’analyse
multi-r´ esolution (AMR) de L
2
pRq. On construit une suite de sous-espaces
ferm´ es de L
2
pRq pV j q jPZ v´ erifiant :
1. @j P Z, V j Ă V j`1 Ă ¨ ¨ ¨ Ă L
2
pRq.
2.
č
jPZ
V j “ t0u et
ď
jPZ
V j “ L
2
pRq.
3. x Þ Ñ f pxq P V j ðñ x Þ Ñ f p2xq P V j`1
4. x Þ Ñ f pxq P V o ðñ @n P Z
x Þ Ñ f px ´ nq P V o
5. Il existe une fonction ϕ P V o telle que la famille d´ enombrable pϕ n : x Þ Ñ
ϕpx ´ nqq nPZ est une base orthonorm´ ee de V o .
La fonction ϕ est appel´ ee fonction d’´ echelle de l’AMR.
Interpr´ etation : V j est une ! grille de lecture " du signal de taille 2
j . Cela
revient ` a dire que la projection P V j f d’un signal f P L
2
pRq est une approximation du signal ` a la r´ esolution 2
j .
(1) dit qu’une approximation `
a la taille ` a la r´ esolution 2
j`1 contient toute
l’information n´ ecessaire pour calculer l’approximation plus grossi` ere `
a la
r´ esolution 2
j
Si on dilate une fonction par 2, les d´ etails sont deux fois plus gros. La condition (3) dit que la mˆ eme chose est vraie pour les approximations.
(2) dit que si on fait tendre la r´ esolution vers `8 on retrouve tous les d´ etails
de f .
Les espaces V j se d´ eduisent par dilatation de l’espace V o :
V j “ Vectϕ j,k : x Þ Ñ 2
j
2 ϕp2
j x ´ kq| k P Z u.
(1.7)
Construction des ondelettes.
On a V j Ă V j`1 . On introduit alors W j le compl´ ementaire orthogonal de V j
dans V j`1 :
V j`1 “ V j ‘ W j .
On pourra donc ´ ecrire que
P V j`1 f “ P V j f ` P W j f ,
o` u P V j f, P V j`1 f sont respectivement les approximations (projections sur V k )
` a l’ordre j et j ` 1 et P W j`1 f sont les d´ etails qui apparaissent `
a l’ordre j.
Le but est maintenant de construire une base orthonorm´ ee de chaque W j ,
qui sont deux ` a deux orthogonaux. Ainsi la r´ eunion des bases de W j sera une
famille orthonorm´ ee de L
2
pRq. C’est mˆ eme une base car
A.2.2 Analyse multi-r´ esolution dans
A.2 Ondelettes
L
2
pRq
On peut construire une base orthonorm´ ee d’ondelettes grˆ ace `
a l’analyse
multi-r´ esolution (AMR) de L
2
pRq. On construit une suite de sous-espaces
ferm´ es de L
2
pRq pV j q jPZ v´ erifiant :
1. @j P Z, V j Ă V j`1 Ă ¨ ¨ ¨ Ă L
2
pRq.
2.
č
jPZ
V j “ t0u et
ď
jPZ
V j “ L
2
pRq.
3. x Þ Ñ f pxq P V j ðñ x Þ Ñ f p2xq P V j`1
4. x Þ Ñ f pxq P V o ðñ @n P Z
x Þ Ñ f px ´ nq P V o
5. Il existe une fonction ϕ P V o telle que la famille d´ enombrable pϕ n : x Þ Ñ
ϕpx ´ nqq nPZ est une base orthonorm´ ee de V o .
La fonction ϕ est appel´ ee fonction d’´ echelle de l’AMR.
Interpr´ etation : V j est une ! grille de lecture " du signal de taille 2
j . Cela
revient ` a dire que la projection P V j f d’un signal f P L
2
pRq est une approximation du signal ` a la r´ esolution 2
j .
(1) dit qu’une approximation `
a la taille ` a la r´ esolution 2
j`1 contient toute
l’information n´ ecessaire pour calculer l’approximation plus grossi` ere `
a la
r´ esolution 2
j
Si on dilate une fonction par 2, les d´ etails sont deux fois plus gros. La condition (3) dit que la mˆ eme chose est vraie pour les approximations.
(2) dit que si on fait tendre la r´ esolution vers `8 on retrouve tous les d´ etails
de f .
Les espaces V j se d´ eduisent par dilatation de l’espace V o :
V j “ Vectϕ j,k : x Þ Ñ 2
j
2 ϕp2
j x ´ kq| k P Z u.
(1.7)
Construction des ondelettes.
On a V j Ă V j`1 . On introduit alors W j le compl´ ementaire orthogonal de V j
dans V j`1 :
V j`1 “ V j ‘ W j .
On pourra donc ´ ecrire que
P V j`1 f “ P V j f ` P W j f ,
o` u P V j f, P V j`1 f sont respectivement les approximations (projections sur V k )
` a l’ordre j et j ` 1 et P W j`1 f sont les d´ etails qui apparaissent `
a l’ordre j.
Le but est maintenant de construire une base orthonorm´ ee de chaque W j ,
qui sont deux ` a deux orthogonaux. Ainsi la r´ eunion des bases de W j sera une
famille orthonorm´ ee de L
2
pRq. C’est mˆ eme une base car
A.2.2 Analyse multi-r´ esolution dans
A.2 Ondelettes