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A Quelques outils math´ ematiques
Pour plus de d´ etails sur cette section on peut se r´ ef´ erer ` a [63].
D´ efinition 1.2.1 Une fonction ψ P L
1
pRq X L
2
pRq est une ondelette si elle
v´ erifie la condition d’admissibilit´ e :
C ψ
def
“
ż
R
| ˆ
ψpωq|
2
|ω|
dω ă `8 .
Ceci implique que
ż
R
ψpxq dx “ 0 (c’est mˆ eme ´ equivalent si x Þ Ñ xψ est
int´ egrable). En effet
ż
R
ψpxq dx “ ˆ
ψp0q ne peut pas ˆ etre non nul sinon
| ˆ
ψpωq|
2
|ω|
ne serait pas int´ egrable.
Les caract´ eristiques de ψ sont nettement diff´ erentes de celle d’une fenˆ etre
comme dans la transformation de Fourier `
a fenˆ etre glissante qui a plus ou
moins l’allure d’un cr´ eneau. Au contraire, ψ sera d’int´ egrale nulle et oscillante. On s’efforce d’imposer `
a ψ et `
a ˆ
ψ une bonne localisation, donc ` a l’infini
une convergence assez rapide vers 0. La fonction obtenue oscille et s’amortit
rapidement : elle ressemble ` a une vague d’o` u son nom.
Fig. 1.1 Ondelette
A.2 Ondelettes
A.2.1 D´ efinition des ondelettes -1D