A.1 Analyse de Fourier
181
3. @f P L
2
pRq
}Ff } 2 “ }f } 2 .
4. La transformation de Fourier d´ efinie sur L
1
pRq et celle obtenue par prolongement sur L
2
pRq, co¨ ıncident sur L
1
pRq X L
2
pRq.
5. Si f P L
2
pRq, Ff est la limite dans L
2
pRq de la suite g n d´ efinie par
g n pωq “
ż n
´n
f ptqe
´2iπtω dt .
La repr´ esentation fr´ equentielle des signaux 2D est l’extension directe de
celle des signaux monodimensionnels.
D´ efinition 1.1.1 Soit f une fonction de L
1
pR ˆ Rq. La transform´ ee de Fourier F de f est
F pu, vq “
ij
R 2
f px, yqe
´2iπpxu`yvq dx dy .
(1.5)
On rappelle que
L
1
pR ˆ Rq “ tf : R ˆ R Ñ C |
ij
R 2
|f px, yq| dx dy ă `8 .u
La transform´ ee de Fourier 2D est une fonction ` a valeurs complexes, qui a
pour chaque composante un module et une phase. Les r´ esultats pr´ ec´ edents
(lin´ earit´ e, d´ ecalage, d´ erivation, convolution) s’´ etendent ` a la transformation
de Fourier 2D, en particulier l’extension `
a la transformation de FourierPlancherel sur l’espace
L
2
pR ˆ Rq “ tf : R ˆ R Ñ C |
ij
R 2
|f px, yq|
2 dx dy ă `8 , u
qui est un espace de Hilbert muni du produit
xf, gy 2 “
ij
R 2
f px, yq¯ gpx, yq dx dy .
La reconstitution du signal spatial se fait par transformation inverse :
f px, yq “
ij
R 2
F pu, vqe
2iπpxu`yvq du dv .
(1.6)
A.1.3.3 Transformation de Fourier 2D