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A Quelques outils math´ ematiques
@k “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , p
ˆ
f
pkq
pωq “ p´2iπq
k
y
t k f pωq .
2. Si f P L
1
pRq X C
p et si toutes les d´ eriv´ ees f
pkq , k “ 1, ¨ ¨ ¨ , p sont dans
L
1
pRq alors
@k “ 1, 2, ¨ ¨ ¨ , p
y
f pkq pωq “ p2iπωq
k ˆ
f pωq .
3. . Si f P L
1
pRq est ` a support born´ e alors ˆ
f P C
8
pRq.
Th´ eor` eme 1.5. Th´ eor` eme d’inversion de Fourier dans L
1
pRq] Supposons
que f et ˆ
f sont dans L
1
pRq. Alors
ż `8
´8
ˆ
f pωq expp2iπωtq dω “ f ptq ,
en tout point t o` u f est continue.
Par cons´ equent, si f est une fonction continue, int´ egrable telle que ˆ
f P L
1
pRq,
on a pour tout x P R :
F ˝ Fpf qpxq “ ˇ
f pxq
def
“ f p´xq ,
o` u F d´ esigne la transformation de Fourier directe.
On peut ´ etendre la transformation de Fourier aux fonctions de L
2
pRq pour
obtenir des propri´ et´ es li´ ees `
a la structure hilbertienne de L
2
pRq. On rappelle
que
L
2
pRq “ t f : R Ñ C |
ż `8
´8
|f ptq|
2 dt ă `8 u .
Le produit hermitien de L
2
pRq est donn´ e par xf, gy 2 “
ż `8
´8
f ptq¯ gptq dt et la
norme associ´ ee est }f } 2 “
˜
ż `8
´8
|f ptq|
2 dt
¸ 1{2
.
La transformation de Fourier F (respectivement la transformation inverse
¯
F) se prolonge en une isom´ etrie de L
2
pRq sur L
2
pRq. On note de la mˆ eme
fa¸ con ce prolongement. On a
1. @f P L
2
pRq F ¯
Ff “ ¯
FFf “ f presque partout.
2. @f, g P L
2
pRqq
xFf, Fgy 2 “ xf, gy 2 .
A.1.3.2 Transformation de Fourier-Plancherel