A.1 Analyse de Fourier
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De plus
y k “
N ´1
ÿ
n“0
Y n ω
nk
N pour k “ 0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1.
(1.4)
Les formules (1.4) et (1.3) d´ efinissent une transformation F N de C
N dans
C
N telle que F N pyq “ Y avec y “ py k q 0ďkďN ´1 et Y “ pY p q 0ďpďN ´1 qui
s’appelle la transformation de Fourier discr` ete d’ordre N . Le calcul se fait
grˆ ace ` a la Transformation de Fourier Rapide (Fast Fourier Transform ou
FFT) (voir [15]).
Avec les s´ eries de Fourier, on peut repr´ esenter des fonctions p´ eriodiques
sur R ou des fonctions d´ efinies sur un intervalle born´ e ra, bs (dans ce cas
on les p´ eriodise). Il faut une notion plus g´ en´ erale pour des fonctions (pas
n´ ecessairement p´ eriodiques) d´ efinies sur R. Dans un premier temps, nous
allons parler de transformation de Fourier dans l’espace
L
1
pRq “ t f : R Ñ C |
ż `8
´8
|f ptq| dt ă `8 u .
Soit f P L
1
pRq. On appelle ˆ
f la transform´ ee de Fourier de f la fonction de
R dans C d´ efinie par :
ω Þ Ñ ˆ
f pωq “
ż `8
´8
f ptq expp´2iπωtqdt.
Rappelons la d´ efinition de la convolution de deux fonctions :
D´ efinition 1.2 (Convolution). Soient f 1 et f 2 dans L
1
pRq. La convol´ ee
de f 1 par f 2 not´ ee f 1 ˚ f 2 est d´ efinie par :
pf 1 ˚ f 2 qptq “
ż `8
´8
f 1 pt ´ sq f 2 psq ds
pour presque tout t P R .
Th´ eor` eme 1.3 (Transform´ ee de Fourier d’une convolution). Soient
f 1 , f 2 P L
1
pRq ˆ L
1
pRq. Alors f 1 ˚ f 2 P L
1
pRq et {
f 1 ˚ f 2 “ ˆ
f 1 ¨ ˆ
f 2 .
Th´ eor` eme 1.4 (D´ erivation).
1. Si t Þ Ñ t
k f ptq P L
1
pRq pour tout 0 ď k ď p, alors ˆ
f est p fois d´ erivable et
A.1.3 La transformation de Fourier
A.1.3.1 Propri´ et´ es importantes