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A Quelques outils math´ ematiques
est une base hilbertienne de L
2
p p0, T q. Les coefficients de Fourier de f sont
d´ efinis par
@k P Z
c k pf q “
1
T
ż T
0
f ptq expp´2iπk
t
T
q dt,
(A.2)
et la s´ erie
ÿ
c k pf q e k est la s´ erie de Fourier de f : elle converge vers f dans
L
2
p p0, T q. On notera
f “
`8
ÿ
´8
c k e k “ lim
N Ñ`8
N
ÿ
´N
c k e k ,
la convergence ´ etant prise au sens de la norme de L
2
p p0, aq. De plus, on a
l’´ egalit´ e de Parseval :
8
ÿ
´8
|c k |
2
“
1
T
ż T
0
|f ptq|
2 dt .
A.1.2 La transformation de Fourier discr` ete (DFT)
et la FFT
La transformation de Fourier discr` ete permet de calculer une approximation des coefficients de Fourier de f P L
2
p p0, T q. Soit N un entier positif et
pt k “
kT
N , k “ 0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1q une subdivision de r0, T s. On d´ efinit alors un
´ echantillonnage du signal f en posant
y k “ f pt k q, k “ 0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1,
avec N pair ; on note ω N “ e
2iπ
N . Le th´ eor` eme suivant donne la correspondance entre les coefficients de Fourier approch´ es de f et ses ´ echantillons :
Th´ eor` eme 1.1. Soit f P L
2
p p0, T q et y k “ f pt k q, k “ 0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1. Les N
coefficients de Fourier de f , (c n pf q, n “ ´
N
2 , ¨ ¨ ¨ ,
N
2 ´ 1) sont approch´ es par
C n “ γ
N
n “
$
’
&
’
%
Y n
si 0 ď n ď
N
2
´ 1,
Y n`N si ´
N
2
ď n ă 0
o` u
Y p “
1
N
N ´1
ÿ
k“0
y k ω
´kp
N
pour p “ 0, ¨ ¨ ¨ , N ´ 1.
(1.3)