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7 Applications
o` u Φ
˚ d´ esigne l’op´ erateur adjoint de Φ et I N l’identit´ e de R
N , c’est-` a-dire
u α “ pΦ
˚ Φ ` αI N q
´1
pΦ
˚ f q.
L’op´ erateur Φ est autoadjoint de sorte que Φ
˚
“ Φ. En effet, soient
u, v P R
N . rappelons que Ω est l’ensemble de tous les pixels de l’image et D
l’ensemble des pixels manquants.
xΦu, vy N
def
“
ÿ
i,jPΩ
pΦuq i,j v i,j “
ÿ
i,jPΩzD
u i,j v i,j “
ÿ
i,jPΩ
u i,j pΦvq i,j “ xu, Φvy N .
La r´ esolution de l’´ equation (7.1) peut alors se faire en remarquant que Φ
˚ f “
f et Φ
˚ Φ “ Φ. L’´ equation (7.1) devient
Φu α ` αu α “ f .
Si x P ΩzD on obtient u α “
f
1 ` α
et si x P D alors u α “
f
α
“ 0. On n’a
donc pas r´ esolu le probl` eme de mani` ere satisfaisante.
7.3.3 R´ egularisation de Sobolev
Dans ce cas on va diffuser l’information dans les r´ egions o` u elle manque par
l’interm´ ediaire d’un op´ erateur de diffusion, ici le Laplacien. Cela correspond
` a un terme de p´ enalisation de la forme
Jpuq “
1
2
}∇u}
2 ,
et la fonctionnelle devient
Fpuq “
1
2
}f ´ Φpuq}
2
`
α
2
}∇u}
2 .
Si la solution u α existe elle doit v´ erifier comme pr´ ec´ edemment ∇Fpu α q “ 0,
ce qui donne
pΦ
˚ Φ ´ αΔqu α “ Φ
˚ f ,
(7.2)
et plus pr´ ecis´ ement dans notre cas pΦ ´ αΔqu α “ f c’est-` a-dire
Φu α “ f ` αΔu α
o` u Δ et l’op´ erateur Laplacien (discret). Cette ´ equation peut ˆ etre r´ esolue
num´ eriquement par une m´ ethode classique (par exemple une m´ ethode de
descente de gradient). Toutefois, en vue d’une r´ esolution it´ erative on va ! relaxer " l’op´ erateur Φ et le remplacer par l’op´ erateur de projection sur l’espace
affine tu P R
N
| Φu “ f u. Soit donc P f cet op´ erateur d´ efini par