7.3 Inpainting
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un a priori impos´ e ` a l’image que l’on veut reconstruire. De mani` ere g´ en´ erale,
nous consid´ erons le probl` eme suivant :
pP α q
#
min Fpuq
def
“
1
2 }f ´ Φpuq}
2
` αJpuq
u P R
N
o` u } ¨ } d´ esigne la norme euclidienne dans R
N (l’image est identifi´ ee ` a un
vecteur) et J est un terme de r´ egularisation convexe que nous pr´ eciserons
ult´ erieurement.
Cette formulation est la mˆ eme que celle qui a ´ et´ e pr´ esent´ ee pour le
d´ ebruitage (chapitre 4 - section 4.3, p. 66) o` u l’op´ erateur Φ ´ etait l’identit´ e (mod` ele ROF) et pour le d´ efloutage (chapitre 4 - section 4.5.4, p. 92)
o` u l’op´ erateur Φ ´ etait un op´ erateur de flou donn´ e par un noyau de convolution. Dans ces deux derniers cas, l’op´ erateur ´ etait en g´ en´ eral inversible. Ici
l’op´ erateur Φ est un op´ erateur de projection, dont le noyau n’est pas r´ eduit
` a t0u.
En pratique, pour des images non bruit´ ees, α devrait ˆ etre le plus petit possible. Si u α d´ esigne une solution de pP α q (qui est unique si J est strictement
convexe et coercif par exemple) on a le r´ esultat de convergence suivant :
lim
αÑ0
u α “ u
˚
o` u u
˚ est solution de
#
min Jpuq
u P R
N , Φpuq “ f .
7.3.2 R´ egularisation L
2
Le terme le plus simple qu’on puisse envisager est le terme qui va minimiser
le bruit lors du calcul de la solution , c’est -` a-dire la norme L
2 . On pose donc
Jpuq “
1
2
}u}
2 def
“
1
2
ÿ
i,j
u
2
i,j ,
o` u u i,j d´ esigne la valeur de u au pixel de coordonn´ ees pi, jq. L’image reconstruite sera d’´ energie finie. Le probl` eme pP α q a clairement une solution unique
u α car J est strictement convexe et coercive. En d´ erivant la fonctionnelle
Fpuq “
1
2
}f ´ Φpuq}
2
`
α
2
}u}
2 ,
on obtient
pΦ
˚ Φ ` αI N qu α “ Φ
˚ f ,
(7.1)