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6 Morphologie math´ ematique
D´ efinition 6.1.3 ( ´
Erosion binaire ) L’´ erosion d’un ensemble X par un
´ el´ ement structurant B est d´ efinie par :
E B pXq “ t x P R
n
| B x Ă X u.
Le principe est illustr´ e dans la figure 6.2. L’´ erosion est l’op´ eration duale de
la dilatation par rapport au passage au compl´ ementaire. Plus pr´ ecis´ ement
E B pXq “ rD B pX
C
qs
C ,
o` u X
C est le compl´ ementaire de X. On en d´ eduit donc les propri´ et´ es suivantes
grˆ ace `
a la proposition 6.1.1.
Proposition 6.1.2 Soient B, B
1 deux ´ el´ ements structurants et X, X
1
Ă R
n
(non vides).
1. L’´ erosion est anti-extensive : E B pXq Ă X
2. Elle est croissante
X Ă X
1
ùñ E B pXq Ă E B pX
1
q .
3. Elle v´ erifie
E B pX X X
1
q “ E B pXq X E B pX
1
q et E B pXq Y E B pX
1
q Ă E B pX Y X
1
q,
E BYB 1 pXq “ E B pXq X E B 1 pXq et E B 1 pXq Y E B pXq Ă E BXB 1 pXq,
4. Elle v´ erifie la relation d’it´ eration suivante : E B 1 pE B pXqq “ E B‘B 1 pXq .
Comme le montre la figure 6.4
– les objets de taille inf´ erieure ` a celle de l’´ el´ ement structurant vont disparaˆ ıtre,
– les autres seront amput´ es d’une partie correspondant `
a la taille de
l’´ el´ ement structurant,
– s’il existe des trous dans les objets, ils seront accentu´ es,
– les objets reli´ es entre eux vont ˆ etre s´ epar´ es.