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6 Morphologie math´ ematique
ce sont des segments, des disques, des carr´ es, des hexagones etc. si n “ 2 ou
des cubes, des sph` eres si n “ 3.
Fig. 6.1 Image test (860 x 780 pixels)
D´ efinition 6.1.1 Soient X et Y deux ensembles non vides de R
n . L’addition
de Minkowski est l’op´ eration ensembliste d´ efinie par :
X ‘ Y “ t x ` y | x P X, y P Y u.
Dans ce qui suit on fixe un ´ el´ ement structurant B. Pour tout x P R
n on note
B x “ tx ` y | y P B u le translat´ e de B par x.
D´ efinition 6.1.2 (Dilatation binaire ) La dilatation d’un ensemble X par
un ´ el´ ement structurant B est d´ efinie par :
D B pXq “ X ‘ B “
ď
xPX
B x .
(a) Dilatation
(b) Erosion
Fig. 6.2 Principe de la dilatation et de l’´ erosion d’un ensemble
Il est facile de voir que l’op´ eration de dilatation v´ erifie les propri´ et´ es suivantes :
Proposition 6.1.1 Soient B, B
1 deux ´ el´ ements structurants et X, X
1
Ă R
n
(non vides).
6 Morphologie math´ ematique
ce sont des segments, des disques, des carr´ es, des hexagones etc. si n “ 2 ou
des cubes, des sph` eres si n “ 3.
Fig. 6.1 Image test (860 x 780 pixels)
D´ efinition 6.1.1 Soient X et Y deux ensembles non vides de R
n . L’addition
de Minkowski est l’op´ eration ensembliste d´ efinie par :
X ‘ Y “ t x ` y | x P X, y P Y u.
Dans ce qui suit on fixe un ´ el´ ement structurant B. Pour tout x P R
n on note
B x “ tx ` y | y P B u le translat´ e de B par x.
D´ efinition 6.1.2 (Dilatation binaire ) La dilatation d’un ensemble X par
un ´ el´ ement structurant B est d´ efinie par :
D B pXq “ X ‘ B “
ď
xPX
B x .
(a) Dilatation
(b) Erosion
Fig. 6.2 Principe de la dilatation et de l’´ erosion d’un ensemble
Il est facile de voir que l’op´ eration de dilatation v´ erifie les propri´ et´ es suivantes :
Proposition 6.1.1 Soient B, B
1 deux ´ el´ ements structurants et X, X
1
Ă R
n
(non vides).