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5 Segmentation
δ α “ H
1
α “
# 1
2α
´
1 ` cos
πs
α
¯
si |s| ď α ,
0
s i |s| ą α
(a) δ α
(b) H α
Fig. 5.27 Approximations de la mesure de Dirac et de la fonction de Heaviside
On doit donc minimiser la fonctionnelle approch´ ee :
F α pΦq “ λ
ż
Ω
K
ÿ
k“1
|∇ϕ k pxq| δ α pϕ k pxqq dx`
ż
Ω
K
ÿ
k“1
pu 0 pxq ´ m k q
2
σ 2
k
H α pϕ k pxqq dx.
Consid´ erons par exemple le cas de deux classes de sorte que nous pouvons
nous contenter d’une seule fonction ϕ “ ϕ 1 (et ϕ 2 “ ´ϕ). La fonctionnelle
s’´ ecrit dans ce cas
F α pϕq “ λ
ż
Ω
δ α pϕq|∇ϕ|`
ż
Ω
H α pϕq
pu 0 ´ m 1 q
2
σ 2
1
dx`
ż
Ω
H α p´ϕq
pu 0 ´ m 2 q
2
σ 2
2
dx,
o` u λ ą 0 et u 0 est l’image. La minimisation de F conduit au sch´ ema dynamique suivant
Bϕ
Bt
“ δ α pϕq
ˆ
div
ˆ ∇ϕ
|∇ϕ|
˙ ˆ pu 0 ´ m 1 q
2
σ 2
1
´
pu 0 ´ m 2 q
2
σ 2
2
˙˙
.