5.6 Segmentation en r´ egions
135
(a)
2 classes.
μ “ p45, 103q, σ “ p17, 37q
(b)
3 classes.
μ “ p50, 106, 138q
σ “ p19, 24, 40q
(c)
4 classes.
μ “ p41, 72, 113, 141q
σ “ p16, 18, 20, 38q
Fig. 5.26 Histogramme de l’hibiscus (en pointill´ e) et d´ ecomposition en gaussiennes (en
trait plein)
On note Ω k “ tx P Ω | x est dans la classe ku et on suppose que pour
chaque Ω k il existe une fonction lipschitzienne ϕ k : Ω Ñ R telle que
$
&
%
ϕ k pxq ą 0 si x P Ω k ,
ϕ k pxq “ 0 si x P BΩ k ,
ϕ k pxq ă 0 sinon
Ω k est ainsi enti` erement d´ etermin´ e par ϕ k et on pose Φ “ pϕ 1 , ¨ ¨ ¨ , ϕ K q. Le
mod` ele peut alors s’´ ecrire
min
Φ
F pΦq ,
o` u l’´ energie `
a minimiser est
F pΦq “ λ
K
ÿ
k“1
ż
BΩ k
|∇ϕ k |dx `
K
ÿ
k“1
ż
Ω k
pu 0 pxq ´ m k q
2
σ 2
k
dx,
c’est-` a-dire
F pΦq “ λ
ż
Ω
K
ÿ
k“1
|∇ϕ k |δpϕ k q `
ż
Ω
K
ÿ
k“1
pu 0 pxq ´ m k q
2
σ 2
k
Hpϕ k pxqq dx,
o` u δ est la mesure de Dirac en 0 et H la fonction de Heaviside (indicatrice de
s0, `8r). Nous allons remplacer δ et H par des approximations (continues)
classiques (figure 5.27). Pour α ą 0 on d´ efinit
H α
$
’
’
&
’
’
%
1
2
ˆ
1 `
s
α
`
1
π
sin
πs
α
˙
si |s| ď α ,
1
s i s ą α
0
s i s ă ´α
et