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5 Segmentation
On se donne un domaine Ω ouvert born´ e de R
2 et une fonction u
˚ : Ω Ñ R
qui repr´ esente les niveaux de gris de l’image `
a segmenter. On va chercher les
contours sous la forme d’un sous ensemble compact Γ de ¯
Ω, reconstruit ` a
partir des discontinuit´ es de u
˚ , ainsi qu’une approximation r´ eguli` ere de u
˚
en dehors de Γ qu’on appellera u. On cherche donc une paire pΓ, uq qui va
minimiser la fonctionnelle suivante :
J MS pΓ, uq “ α
ż
ΩzΓ
|u ´ u
˚
|
2 dx ` β
ż
ΩzΓ
|∇u|
2 dx ` pΓ q .
(5.14)
Remarque 5.4.1 (i) Le mod` ele original de Mumford-Shah [72] fait intervenir la mesure de Hausdorff de Γ et non sa longueur pΓ q .
(ii) On reconnaˆ ıt dans J MS pΓ, uq :
– un terme d’ajustement aux donn´ ees
ż
ΩzΓ
|u ´ u
˚
|
2 dx,
– un terme de r´ egularisation
ż
ΩzΓ
|∇u|
2 dx pour u et
– un terme de r´ egularisation pour les courbes constituant Γ : pΓ q.
(iii) α et β sont des param` etres d’´ echelle et de contraste respectivement.
L’existence de solution(s) au probl` eme
min J MS pΓ, uq ,
est un probl` eme difficile.
En pratique on va approcher la fonctionnelle de Munford-Shah. Il existe
de nombreuses m´ ethodes pour approcher la fonctionnelle de Mumford Shah
L’approche par fonctionnelles elliptiques [5] consiste `
a introduire une fonction
auxiliaire v qui approche la fonction caract´ eristique 1´χ Γ . On peut consid´ erer
la suite de fonctionnelles suivantes :
F ε pu, vq “ α
ż
Ω
pu´u
˚
q
2 dx`β
ż
Ω
v
2
|∇u|
2 dx`
ż
Ω
ˆ
ε|∇v|
2
`
1
4ε
pv ´ 1q
2
˙
dx .
Pour trouver le minimum de F ε on est amen´ e ` a r´ esoudre le syst` eme :
DF ε pu, vq “ 0 ,
c’est-` a-dire
$
’
&
’
%
Bu
Bt
“ ´αpu ´ u
˚
q ` β div pv
2
∇uq
Bv
Bt
“ εΔv ´
1
4ε pv ´ 1q ´ β|∇u|
2 v ,
auquel on rajoute les conditions aux limites usuelles. On peut par exemple
utiliser un sch´ ema d’Euler explicite en temps.
5 Segmentation
On se donne un domaine Ω ouvert born´ e de R
2 et une fonction u
˚ : Ω Ñ R
qui repr´ esente les niveaux de gris de l’image `
a segmenter. On va chercher les
contours sous la forme d’un sous ensemble compact Γ de ¯
Ω, reconstruit ` a
partir des discontinuit´ es de u
˚ , ainsi qu’une approximation r´ eguli` ere de u
˚
en dehors de Γ qu’on appellera u. On cherche donc une paire pΓ, uq qui va
minimiser la fonctionnelle suivante :
J MS pΓ, uq “ α
ż
ΩzΓ
|u ´ u
˚
|
2 dx ` β
ż
ΩzΓ
|∇u|
2 dx ` pΓ q .
(5.14)
Remarque 5.4.1 (i) Le mod` ele original de Mumford-Shah [72] fait intervenir la mesure de Hausdorff de Γ et non sa longueur pΓ q .
(ii) On reconnaˆ ıt dans J MS pΓ, uq :
– un terme d’ajustement aux donn´ ees
ż
ΩzΓ
|u ´ u
˚
|
2 dx,
– un terme de r´ egularisation
ż
ΩzΓ
|∇u|
2 dx pour u et
– un terme de r´ egularisation pour les courbes constituant Γ : pΓ q.
(iii) α et β sont des param` etres d’´ echelle et de contraste respectivement.
L’existence de solution(s) au probl` eme
min J MS pΓ, uq ,
est un probl` eme difficile.
En pratique on va approcher la fonctionnelle de Munford-Shah. Il existe
de nombreuses m´ ethodes pour approcher la fonctionnelle de Mumford Shah
L’approche par fonctionnelles elliptiques [5] consiste `
a introduire une fonction
auxiliaire v qui approche la fonction caract´ eristique 1´χ Γ . On peut consid´ erer
la suite de fonctionnelles suivantes :
F ε pu, vq “ α
ż
Ω
pu´u
˚
q
2 dx`β
ż
Ω
v
2
|∇u|
2 dx`
ż
Ω
ˆ
ε|∇v|
2
`
1
4ε
pv ´ 1q
2
˙
dx .
Pour trouver le minimum de F ε on est amen´ e ` a r´ esoudre le syst` eme :
DF ε pu, vq “ 0 ,
c’est-` a-dire
$
’
&
’
%
Bu
Bt
“ ´αpu ´ u
˚
q ` β div pv
2
∇uq
Bv
Bt
“ εΔv ´
1
4ε pv ´ 1q ´ β|∇u|
2 v ,
auquel on rajoute les conditions aux limites usuelles. On peut par exemple
utiliser un sch´ ema d’Euler explicite en temps.