5.4 M´ ethodes variationnelles
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5.4.1.6 Application ` a la segmentation
Reprenons l’exemple de la section 5.4.1.4. L’´ equation (5.9) donne la vitesse
d’´ evolution du front :
F “
Bu
Bt
“ α
B
2 u
Bs 2 ´ ∇ v P puq .
B
2 u
Bs 2 est ` a une constante pr` es la courbure κ au point consid´ er´ e et P puq peut
se r´ e´ ecrire en fonction de Ψ : ˜
P pΨ q. L’´ equation issue de la m´ ethode des lignes
de niveau est donc la suivante
BΨ
Bt
` k div
ˆ ∇Ψ
|∇Ψ |
˙
|∇Ψ | ´ ˜
P pΨ q|∇Ψ | “ 0 .
Le mod` ele des ballons ( ! Balloons ")
Le mod` ele des ballons ( ! Balloons " ) a ´ et´ e introduit par Laurent Cohen [32]. En effet un des principaux probl` emes des ! snakes " provient de la
condition initiale. Si la condition initiale n’est pas assez proche de la solution,
le contour n’´ evolue pas suffisamment et tend ` a se localiser sur un minimum
local non significatif. L’int´ erˆ et du mod` ele des ballons r´ eside dans la r´ esolution
de ce probl` eme.
On ajoute une force suppl´ ementaire que l’on peut appeler ! force de gonflage ". La courbe est assimil´ ee ` a un ballon que l’on gonfle. Deux possibilit´ es
sont alors envisageables :
– soit la nuance (dans le cas des intensit´ es) est assez forte et la courbe
s’arrˆ ete,
– soit la nuance est trop faible et la courbe la surmonte pour aller chercher
plus loin.
Grˆ ace ` a ce mod` ele de ballons, on peut supprimer deux des inconv´ enients
principaux des ! snakes " :
– l’arrˆ et pr´ ematur´ e de la courbe sur un point non d´ esir´ e,
– le choix d’une condition initiale tr` es proche du contour `
a extraire.
Partant d’une courbe initiale orient´ ee, on ajoute au mod` ele une force de
gonflage d´ efinie par : k 1 npvpsqq, o` u n est la normale unitaire ext´ erieure ` a
la courbe au point vpsq. On aboutit alors `
a l’expression suivante de la force
ext´ erieure F :
F “ k 1 npvpsqq ´ k
∇Ψ
|∇Ψ |
.
Si l’on change le signe de k 1 , cela nous donne un d´ egonflage au lieu d’un
gonflage. Notons aussi que k 1 et k sont approximativement du mˆ eme ordre.
Le param` etre k est cependant un peu plus grand que k 1 pour que le ! snake "
soit arrˆ et´ e par les bons points.
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5.4.1.6 Application ` a la segmentation
Reprenons l’exemple de la section 5.4.1.4. L’´ equation (5.9) donne la vitesse
d’´ evolution du front :
F “
Bu
Bt
“ α
B
2 u
Bs 2 ´ ∇ v P puq .
B
2 u
Bs 2 est ` a une constante pr` es la courbure κ au point consid´ er´ e et P puq peut
se r´ e´ ecrire en fonction de Ψ : ˜
P pΨ q. L’´ equation issue de la m´ ethode des lignes
de niveau est donc la suivante
BΨ
Bt
` k div
ˆ ∇Ψ
|∇Ψ |
˙
|∇Ψ | ´ ˜
P pΨ q|∇Ψ | “ 0 .
Le mod` ele des ballons ( ! Balloons ")
Le mod` ele des ballons ( ! Balloons " ) a ´ et´ e introduit par Laurent Cohen [32]. En effet un des principaux probl` emes des ! snakes " provient de la
condition initiale. Si la condition initiale n’est pas assez proche de la solution,
le contour n’´ evolue pas suffisamment et tend ` a se localiser sur un minimum
local non significatif. L’int´ erˆ et du mod` ele des ballons r´ eside dans la r´ esolution
de ce probl` eme.
On ajoute une force suppl´ ementaire que l’on peut appeler ! force de gonflage ". La courbe est assimil´ ee ` a un ballon que l’on gonfle. Deux possibilit´ es
sont alors envisageables :
– soit la nuance (dans le cas des intensit´ es) est assez forte et la courbe
s’arrˆ ete,
– soit la nuance est trop faible et la courbe la surmonte pour aller chercher
plus loin.
Grˆ ace ` a ce mod` ele de ballons, on peut supprimer deux des inconv´ enients
principaux des ! snakes " :
– l’arrˆ et pr´ ematur´ e de la courbe sur un point non d´ esir´ e,
– le choix d’une condition initiale tr` es proche du contour `
a extraire.
Partant d’une courbe initiale orient´ ee, on ajoute au mod` ele une force de
gonflage d´ efinie par : k 1 npvpsqq, o` u n est la normale unitaire ext´ erieure ` a
la courbe au point vpsq. On aboutit alors `
a l’expression suivante de la force
ext´ erieure F :
F “ k 1 npvpsqq ´ k
∇Ψ
|∇Ψ |
.
Si l’on change le signe de k 1 , cela nous donne un d´ egonflage au lieu d’un
gonflage. Notons aussi que k 1 et k sont approximativement du mˆ eme ordre.
Le param` etre k est cependant un peu plus grand que k 1 pour que le ! snake "
soit arrˆ et´ e par les bons points.