5.4 M´ ethodes variationnelles
119
Fig. 5.15 Principe de la m´ ethode ! Level set " (Sethian [87])
Plus pr´ ecis´ ement on va chercher une fonction
Ψ : R
3
Ñ R
v´ erifiant
Γ t “ t Xptq “ pxptq, yptqq P R
2
| Ψ pt, Xptqq “ 0 u .
(5.12)
Pour cela, on va partir d’une courbe initiale Γ o d’´ equation ψ o . On pose
Ψ p0, Xp0qq “ ψ o pXp0qq ,
et on va faire ´ evoluer la surface en prenant en compte la vitesse d’´ evolution
du front donn´ ee par X
1
ptq “
dX
dt
. L’´ equation (5.12) se traduit par
@t ě 0
Ψ pt, Xptqq “ 0 .
Comme nous cherchons une surface r´ eguli` ere (au moins C
1 ) nous pouvons
d´ eriver et la formule de composition donne
@t ě 0
BΨ
Bt
pt, Xptqq ` x∇Ψ pt, Xptqq, X
1
ptqy “ 0 ,
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Fig. 5.15 Principe de la m´ ethode ! Level set " (Sethian [87])
Plus pr´ ecis´ ement on va chercher une fonction
Ψ : R
3
Ñ R
v´ erifiant
Γ t “ t Xptq “ pxptq, yptqq P R
2
| Ψ pt, Xptqq “ 0 u .
(5.12)
Pour cela, on va partir d’une courbe initiale Γ o d’´ equation ψ o . On pose
Ψ p0, Xp0qq “ ψ o pXp0qq ,
et on va faire ´ evoluer la surface en prenant en compte la vitesse d’´ evolution
du front donn´ ee par X
1
ptq “
dX
dt
. L’´ equation (5.12) se traduit par
@t ě 0
Ψ pt, Xptqq “ 0 .
Comme nous cherchons une surface r´ eguli` ere (au moins C
1 ) nous pouvons
d´ eriver et la formule de composition donne
@t ě 0
BΨ
Bt
pt, Xptqq ` x∇Ψ pt, Xptqq, X
1
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