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5 Segmentation
Fig. 5.14 Propagation de front le long de la direction normale
La proposition suivante donne une id´ ee de l’´ evolution du front lorsque la
courbure s’annule (courbe non convexe).
Proposition 5.4.1 [87] On consid` ere un front ´ evoluant `
a la vitesse F pκq
le long du champ de vecteurs normaux. Supposons que la courbe initiale Γ o
est simple, r´ eguli` ere et non-convexe, de sorte que κps, 0q change de signe.
Supposons que F est deux fois diff´ erentiable et que κ l’est aussi pour 0 ď s ď
S et 0 ď t ď T . Alors, pour tout 0 ď t ď T
‚ Si F
1
pκq ď 0 (resp. ě 0) d` es que κ “ 0 alors
dd
dt
ď 0 (resp. ě 0 q
‚ Si F
1
pκq ă 0 (resp. ą 0) et κ ‰ 0 d` es que κ “ 0 alors
dd
dt
ă 0 (resp. ą 0 q
La m´ ethode des lignes de niveaux (! level set ") permet de s’affranchir de
la param´ etrisation des courbes en terme d’abscisse curviligne. Le prix ` a payer
est une augmentation de la dimension de l’espace dans lequel on travaille. En
revanche, cette m´ ethode permet de g´ erer des changements de topologie. On
peut donc segmenter plusieurs objets d’un coup (voir figure 5.16).
L’id´ ee consiste `
a consid´ erer une courbe plane comme une ligne de niveau
d’une surface 3D d’´ equation z ´ Φpx, yq “ 0. On choisit le ligne de niveau 0,
c’est-` a-dire l’intersection de la surface 3D, avec le plan z “ 0.
5 Segmentation
Fig. 5.14 Propagation de front le long de la direction normale
La proposition suivante donne une id´ ee de l’´ evolution du front lorsque la
courbure s’annule (courbe non convexe).
Proposition 5.4.1 [87] On consid` ere un front ´ evoluant `
a la vitesse F pκq
le long du champ de vecteurs normaux. Supposons que la courbe initiale Γ o
est simple, r´ eguli` ere et non-convexe, de sorte que κps, 0q change de signe.
Supposons que F est deux fois diff´ erentiable et que κ l’est aussi pour 0 ď s ď
S et 0 ď t ď T . Alors, pour tout 0 ď t ď T
‚ Si F
1
pκq ď 0 (resp. ě 0) d` es que κ “ 0 alors
dd
dt
ď 0 (resp. ě 0 q
‚ Si F
1
pκq ă 0 (resp. ą 0) et κ ‰ 0 d` es que κ “ 0 alors
dd
dt
ă 0 (resp. ą 0 q
La m´ ethode des lignes de niveaux (! level set ") permet de s’affranchir de
la param´ etrisation des courbes en terme d’abscisse curviligne. Le prix ` a payer
est une augmentation de la dimension de l’espace dans lequel on travaille. En
revanche, cette m´ ethode permet de g´ erer des changements de topologie. On
peut donc segmenter plusieurs objets d’un coup (voir figure 5.16).
L’id´ ee consiste `
a consid´ erer une courbe plane comme une ligne de niveau
d’une surface 3D d’´ equation z ´ Φpx, yq “ 0. On choisit le ligne de niveau 0,
c’est-` a-dire l’intersection de la surface 3D, avec le plan z “ 0.