5.4 M´ ethodes variationnelles
117
κpt, sq “
„
y ss x s ´ x ss y s
px 2
s ` y 2
s q 3{2
j
pt, sq
(5.10)
o` u x s d´ esigne la d´ eriv´ ee par rapport `
a s et x ss d´ esigne la d´ eriv´ ee seconde par
rapport `
a s.
Fig. 5.13 Param´ etrisation de la courbe
On se restreint dans ce qui suit ` a des vitesses ne d´ ependant que de la
courbure locale
F “ F pκq .
On obtient alors les ´ equations donnant le mouvement de Γ t :
$
’
&
’
%
x t “ F
´
y ss x s ´x ss y s
px 2
s `y 2
s q 3{2
¯ ´
y s
px 2
s `y 2
s q 1{2
¯
y t “ F
´
y ss x s ´x ss y s
px 2
s `y 2
s q 3{2
¯ ´
x s
px 2
s `y 2
s q 1{2
¯
.
(5.11)
La variation totale de la courbe Γ t (ou de la fonction qui la param` etre φ)
est aussi sa longueur. Elle est donn´ ee par
ptq “
ż S
0
|κps, tq|px
2
s ` y
2
s q
1{2 ds .