5.4 M´ ethodes variationnelles
115
∇ u Epupt, ¨qq, upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q “
ż 1
0
“
αu
1
pt, sqru
1
pt ` δt, sq ´ u
1
pt, sqs ` ∇ u P puqpt, sqrupt ` δt, sq ´ upt, sqs
‰
ds .
Une int´ egration par parties formelle (mais justifiable) coupl´ ee aux conditions
aux limites de la forme (courbe ferm´ ee) :
vp0q “ vp1q “
dv
ds
p0q “
dv
ds
p1q
donne
∇ u Epupt, ¨qq, upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q “
ż 1
0
“ ´αu
2
pt, sq ` ∇ u P puqpt, sq
‰ rupt ` δt, sq ´ upt, sqs ds .
Si on choisit
upt ` δt, sq ´ upt, sq “ ´δt
“ ´αu
2
pt, sq ` ∇ u P puqpt, sq
‰
p.p.
l’´ energie va d´ ecroˆ ıtre (pour δt assez petit) grˆ ace `
a l’approximation (5.8). On
obtient
upt ` δt, sq ´ upt, sq
δt
“ αu
2
pt, sq ´ ∇ u P puqpt, sq p.p.
et par passage ` a la limite lorsque δt Ñ 0
$
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
Bu
Bt
´ α
B
2 u
Bs 2 ` ∇ v P puq “ 0 dans D
1
p0, 1q
@t ą 0 upt, 0q “ upt, 1q “
du
ds
pt, 0q “
du
ds
pt, 1q ,
@s P r0, 1s up0, sq “ u 0 psq donn´ ee.
(5.9)
C’est une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles parabolique non lin´ eaire dont
l’´ etude est en g´ en´ eral classique [35].
5.4.1.5 La m´ ethode des lignes de niveau (! Level set ")
Le principe des contours actifs est de faire ´ evoluer une courbe. On a vu dans
la section pr´ ec´ edente une formulation dynamique qui fait intervenir
Bu
Bt
c’est` a-dire la vitesse d’´ evolution du contour. On va donc s’int´ eresser ` a la fa¸ con de
faire ´ evoluer la courbe et plus g´ en´ eralement `
a la notion de propagation de
fronts.
On se donne une courbe plane (on peut aussi se placer en 3D avec une
surface) ferm´ ee que l’on supposera r´ eguli` ere (on pr´ ecisera cela plus tard).