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5 Segmentation
ordre, on a pour δt ą 0
Epupt ` δt, ¨qq ´ Epupt, ¨qq » ∇ u Epupt, ¨qq, upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q .
(5.8)
Le choix ! upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q “ ´δt∇ u Epupt, ¨q " montre qu’on fait bien
d´ ecroˆ ıtre l’´ energie. En faisant tendre δt vers 0 on obtient (5.7). Ceci conduit
` a une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles d’´ evolution (en g´ en´ eral parabolique) ` a
laquelle il convient d’ajouter une condition initiale
upt “ 0, xq “ u 0 pxq (on se donne le contour de d´ epart)
et des conditions aux limites issues de l’analyse du probl` eme stationnaire.
On calcule ensuite cette solution et on s’int´ eresse `
a son comportement
symptotique (en temps long). En pratique, il suffit de s’arrˆ eter lorsque t est
assez grand (c’est-` a-dire quand deux valeurs cons´ ecutives sont assez voisines).
5.4.1.4 Un exemple
Nous allons illustrer ce qui pr´ ec` ede par un exemple. Supposons α strictement positif et β “ 0 (on ne contraint pas la rigidit´ e du contour actif).
L’espace fonctionnel des courbes est alors X “ H
2
p0, 1q X H
1
0 p0, 1q (en prenant en compte la condition aux limites vp0q “ vp1q “ 0. On supposera que
l’image I est ` a d´ eriv´ ee dans L
2 et que
v Þ Ñ ∇Ipvq
est continue de X dans L
2
p0, 1q. Pour assurer l’existence d’un infimum il faut
que la fonctionnelle E s soit minor´ ee. On peut alors prendre pour P pvq une
fonction dite de d´ etection de contours, par exemple
P pvq “
1
1 ` |∇Ipvq| 2 .
Cette fonction a le m´ erite d’ˆ etre positive et la minimiser revient `
a maximiser son d´ enominateur donc le gradient de l’image. La fonctionnelle d’´ energie
s’´ ecrit alors
E s pvq “
1
2
ż 1
0
„
α|v
1
psq|
2
`
λ
1 ` |∇Ipvq| 2
j
ds , v P H
2
p0, 1q X H
1
0 p0, 1q.
Cette fonctionnelle est minor´ ee, donc l’infimum existe. Toutefois il est encore extrˆ emement d´ elicat de montrer qu’il est atteint, les propri´ et´ es de semicontinuit´ e et surtout de coercivit´ e de E s n’´ etant pas ´ evidentes. Dans ce cas,
on adopte la d´ emarche ! dynamique " comme dans la section pr´ ec´ edente.
Calculons ∇ u Epupt, ¨qq, upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q pour δ ą 0. Un calcul analogue
` a la section pr´ ec´ edente donne
5 Segmentation
ordre, on a pour δt ą 0
Epupt ` δt, ¨qq ´ Epupt, ¨qq » ∇ u Epupt, ¨qq, upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q .
(5.8)
Le choix ! upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q “ ´δt∇ u Epupt, ¨q " montre qu’on fait bien
d´ ecroˆ ıtre l’´ energie. En faisant tendre δt vers 0 on obtient (5.7). Ceci conduit
` a une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles d’´ evolution (en g´ en´ eral parabolique) ` a
laquelle il convient d’ajouter une condition initiale
upt “ 0, xq “ u 0 pxq (on se donne le contour de d´ epart)
et des conditions aux limites issues de l’analyse du probl` eme stationnaire.
On calcule ensuite cette solution et on s’int´ eresse `
a son comportement
symptotique (en temps long). En pratique, il suffit de s’arrˆ eter lorsque t est
assez grand (c’est-` a-dire quand deux valeurs cons´ ecutives sont assez voisines).
5.4.1.4 Un exemple
Nous allons illustrer ce qui pr´ ec` ede par un exemple. Supposons α strictement positif et β “ 0 (on ne contraint pas la rigidit´ e du contour actif).
L’espace fonctionnel des courbes est alors X “ H
2
p0, 1q X H
1
0 p0, 1q (en prenant en compte la condition aux limites vp0q “ vp1q “ 0. On supposera que
l’image I est ` a d´ eriv´ ee dans L
2 et que
v Þ Ñ ∇Ipvq
est continue de X dans L
2
p0, 1q. Pour assurer l’existence d’un infimum il faut
que la fonctionnelle E s soit minor´ ee. On peut alors prendre pour P pvq une
fonction dite de d´ etection de contours, par exemple
P pvq “
1
1 ` |∇Ipvq| 2 .
Cette fonction a le m´ erite d’ˆ etre positive et la minimiser revient `
a maximiser son d´ enominateur donc le gradient de l’image. La fonctionnelle d’´ energie
s’´ ecrit alors
E s pvq “
1
2
ż 1
0
„
α|v
1
psq|
2
`
λ
1 ` |∇Ipvq| 2
j
ds , v P H
2
p0, 1q X H
1
0 p0, 1q.
Cette fonctionnelle est minor´ ee, donc l’infimum existe. Toutefois il est encore extrˆ emement d´ elicat de montrer qu’il est atteint, les propri´ et´ es de semicontinuit´ e et surtout de coercivit´ e de E s n’´ etant pas ´ evidentes. Dans ce cas,
on adopte la d´ emarche ! dynamique " comme dans la section pr´ ec´ edente.
Calculons ∇ u Epupt, ¨qq, upt ` δt, ¨q ´ upt, ¨q pour δ ą 0. Un calcul analogue
` a la section pr´ ec´ edente donne