5.4 M´ ethodes variationnelles
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ż 1
0
„
d
ds
ˆ
α
d¯ u
ds
˙
psqvpsq `
d
2
ds 2
ˆ
β
d
2 ¯
u
ds 2
˙
psq vpsq ` ∇ v P p¯ uqpsqvpsq
j
ds “ 0 ,
c’est-` a-dire
d
ds
ˆ
α
d¯ u
ds
˙
`
d
2
ds 2
ˆ
β
d
2 ¯
u
ds 2
˙
` ∇ v P p¯ uq “ 0 ,
au sens des distributions. Il s’agit ensuite de donner des conditions aux limites : ici elles proviennent de la param´ etrisation par abscisse curviligne :
vp0q “ vp1q “
dv
ds
p0q “
dv
ds
p1q .
En d´ efinitive on est ramen´ e ` a l’´ etude et `
a la r´ esolution (num´ erique) d’une
´ equation aux d´ eriv´ ees partielles :
$
’
’
’
&
’
’
’
%
d
ds
ˆ
α
d¯ u
ds
˙
`
d
2
ds 2
ˆ
β
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u
ds 2
˙
` ∇ v P p¯ uq “ 0 dans D
1
p0, 1q
vp0q “ vp1q “
dv
ds
p0q “
dv
ds
p1q
v P Φ X H
2
p0, 1q .
(5.6)
5.4.1.3 Un mod` ele dynamique
L’´ equation ´ ecrite ci-dessus exprime un ´ etat statique ou ´ etat d’´ equilibre
quand on est au minimum d’´ energie. Mais bien souvent, alors mˆ eme qu’on
connaˆ ıt l’existence d’un infimum on n’est pas capable de montrer l’existence d’un minimum, c’est-` a-dire le ou les points o` u l’infimum est atteint.
Il faut donc approcher cet ´ etat d’´ equilibre plutˆ ot que le chercher exactement (il n’est parfois pas atteignable). Le principe des mod` eles d´ eformables
et de consid´ erer que le contour que l’on cherche est l’´ etat d’´ equilibre d’un
contour qui va ´ evoluer avec le temps. Le probl` eme stationnaire est transform´ e
en un probl` eme dynamique : on cherche la solution upx, tq d’un probl` eme
d’´ evolution. La courbe cherch´ ee ¯
u est alors donn´ ee par
¯
upxq “ lim
tÑ`8
upt, xq .
Une mani` ere simple d’imposer un mouvement au contour est d’imposer sa
vitesse d’´ evolution
Bu
Bt
px, tq en posant
Bu
Bt
px, tq “ ´∇ u E s pupx, tqq .
(5.7)
En effet, la famille upt, ¨q de courbes (index´ ee par t) que l’on cherche doit
ˆ etre choisie de fa¸ con `
a faire d´ ecroˆ ıtre l’´ energie E s qui se rapprochera ainsi de
son infimum. Si on fait (formellement) un d´ eveloppement de E s au premier
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5.4.1.3 Un mod` ele dynamique
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quand on est au minimum d’´ energie. Mais bien souvent, alors mˆ eme qu’on
connaˆ ıt l’existence d’un infimum on n’est pas capable de montrer l’existence d’un minimum, c’est-` a-dire le ou les points o` u l’infimum est atteint.
Il faut donc approcher cet ´ etat d’´ equilibre plutˆ ot que le chercher exactement (il n’est parfois pas atteignable). Le principe des mod` eles d´ eformables
et de consid´ erer que le contour que l’on cherche est l’´ etat d’´ equilibre d’un
contour qui va ´ evoluer avec le temps. Le probl` eme stationnaire est transform´ e
en un probl` eme dynamique : on cherche la solution upx, tq d’un probl` eme
d’´ evolution. La courbe cherch´ ee ¯
u est alors donn´ ee par
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Une mani` ere simple d’imposer un mouvement au contour est d’imposer sa
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(5.7)
En effet, la famille upt, ¨q de courbes (index´ ee par t) que l’on cherche doit
ˆ etre choisie de fa¸ con `
a faire d´ ecroˆ ıtre l’´ energie E s qui se rapprochera ainsi de
son infimum. Si on fait (formellement) un d´ eveloppement de E s au premier