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5 Segmentation
La mod´ elisation du probl` eme que l’on propose revient donc `
a trouver une
fonction ¯
v P Φ X X
mintE s pvq | v P Φ X X u .
(5.5)
Ici X est un espace fonctionnel adapt´ e ` a la formulation du probl` eme de
minimisation. En effet, nous avons d´ ecrit les choses formellement jusqu’` a
pr´ esent. Il est clair que pour d´ efinir les diff´ erentes ´ energies, la fonction v
doit ˆ etre d´ erivable (au sens des distributions) et de d´ eriv´ ees int´ egrables. En
pratique
X “ H
1
p0, 1q ou H
2
p0, 1q ,
espaces de Sobolev (voir annexe, section
probl` eme de minimisation de fonctionnelle (minimisation de l’´ energie) que
l’on peut r´ esoudre au cas par cas en utilisant les th´ eor` emes et les m´ ethodes
classiques d’optimisation pr´ esent´ ees dans l’annexe, section A.3.4 par exemple.
5.4.1.2 Conditions d’optimalit´ e
Supposons avoir d´ emontr´ e que le probl` eme (5.5) admet au moins une solution ¯
v. Nous allons utiliser le th´ eor` eme d’Euler-Lagrange (condition d’optimalit´ e du premier ordre : annexe , th´ eor` eme 1.3.11, p. 197 ) pour d´ eterminer
l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles que satisfait ¯
v. Supposons (pour simplifier)
que X “ H
2
p0, 1q de sorte que v
1
P L
2
p0, 1q et v
2
P L
2
p0, 1q. On supposera
´ egalement que la fonction P : X Ñ L
1
p0, 1q est d´ erivable (au sens des distributions ) et que sa d´ eriv´ ee est dans L
1
p0, 1q(cet ensemble se note W
1,1
p0, 1q).
La fonctionnelle coˆ ut consid´ er´ ee est
E s pvq “
1
2
ż 1
0
“
α|v
1
psq|
2
` β |v
2
psq|
2 ‰
ds `
ż 1
0
P pvpsqq ds ,
sur l’espace X . Elle n’est en g´ en´ eral pas convexe de sorte que mˆ eme si on
peut (´ eventuellement) montrer l’existence d’une solution ¯
u , celle ci n’est en
g´ en´ eral pas unique. D’apr` es le Th´ eor` eme 1.3.11, si ¯
u est solution du probl` eme
alors
@v P X
B
dE s
dv
p¯ uq, v
F
“ 0 .
Lemme 5.4.1 La fonctionnelle E s est Gˆ ateaux-diff´ erentiable et sa Gˆ ateauxd´ eriv´ ee en ¯
u, dans la direction v est
B
dE s
dv
p¯ uq, v
F
“
ż 1
0
“
αpsq¯ u
1
psqv
1
psq ` βpsq ¯
u
2
psq v
2
psq ` ∇ v P p¯ upsqqvpsq
‰
ds .
Preuve - La d´ emonstration, facile, est laiss´ ee en exercice.
l
Soit alors v P Dp0, 1q : on obtient
A.5, p.206). Il s’agit donc d’un
5 Segmentation
La mod´ elisation du probl` eme que l’on propose revient donc `
a trouver une
fonction ¯
v P Φ X X
mintE s pvq | v P Φ X X u .
(5.5)
Ici X est un espace fonctionnel adapt´ e ` a la formulation du probl` eme de
minimisation. En effet, nous avons d´ ecrit les choses formellement jusqu’` a
pr´ esent. Il est clair que pour d´ efinir les diff´ erentes ´ energies, la fonction v
doit ˆ etre d´ erivable (au sens des distributions) et de d´ eriv´ ees int´ egrables. En
pratique
X “ H
1
p0, 1q ou H
2
p0, 1q ,
espaces de Sobolev (voir annexe, section
probl` eme de minimisation de fonctionnelle (minimisation de l’´ energie) que
l’on peut r´ esoudre au cas par cas en utilisant les th´ eor` emes et les m´ ethodes
classiques d’optimisation pr´ esent´ ees dans l’annexe, section A.3.4 par exemple.
5.4.1.2 Conditions d’optimalit´ e
Supposons avoir d´ emontr´ e que le probl` eme (5.5) admet au moins une solution ¯
v. Nous allons utiliser le th´ eor` eme d’Euler-Lagrange (condition d’optimalit´ e du premier ordre : annexe , th´ eor` eme 1.3.11, p. 197 ) pour d´ eterminer
l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles que satisfait ¯
v. Supposons (pour simplifier)
que X “ H
2
p0, 1q de sorte que v
1
P L
2
p0, 1q et v
2
P L
2
p0, 1q. On supposera
´ egalement que la fonction P : X Ñ L
1
p0, 1q est d´ erivable (au sens des distributions ) et que sa d´ eriv´ ee est dans L
1
p0, 1q(cet ensemble se note W
1,1
p0, 1q).
La fonctionnelle coˆ ut consid´ er´ ee est
E s pvq “
1
2
ż 1
0
“
α|v
1
psq|
2
` β |v
2
psq|
2 ‰
ds `
ż 1
0
P pvpsqq ds ,
sur l’espace X . Elle n’est en g´ en´ eral pas convexe de sorte que mˆ eme si on
peut (´ eventuellement) montrer l’existence d’une solution ¯
u , celle ci n’est en
g´ en´ eral pas unique. D’apr` es le Th´ eor` eme 1.3.11, si ¯
u est solution du probl` eme
alors
@v P X
B
dE s
dv
p¯ uq, v
F
“ 0 .
Lemme 5.4.1 La fonctionnelle E s est Gˆ ateaux-diff´ erentiable et sa Gˆ ateauxd´ eriv´ ee en ¯
u, dans la direction v est
B
dE s
dv
p¯ uq, v
F
“
ż 1
0
“
αpsq¯ u
1
psqv
1
psq ` βpsq ¯
u
2
psq v
2
psq ` ∇ v P p¯ upsqqvpsq
‰
ds .
Preuve - La d´ emonstration, facile, est laiss´ ee en exercice.
l
Soit alors v P Dp0, 1q : on obtient
A.5, p.206). Il s’agit donc d’un