5.4 M´ ethodes variationnelles
111
E s pvq “ E i pvq ` E e pvq .
Elle est constitu´ ee d’un terme de r´ egularisation interne E i et d’un terme de
potentiel d’attraction ou ajustement aux donn´ ees E e .
L’´ energie interne peut se d´ ecomposer comme suit :
E i pvq “
1
2
ż 1
0
“
α|v
1
psq|
2
` β |v
2
psq|
2 ‰
ds
(5.2)
o` u | ¨ | d´ esigne la norme euclidienne dans R
2 . Le param` etre α P L
8
p0, 1q est
le coefficient d’´ elasticit´ e (r´ esistance `
a l’allongement) et β P L
8
p0, 1q est le
coefficient de rigidit´ e. Le premier terme de E i pvq :
α
ż 1
0
|v
1
psq|
2 ds
p´ enalise la longueur du ! snake " : augmenter α tend ` a ´ eliminer les boucles
en r´ eduisant la longueur du contour.
Le second terme
β
ż 1
0
|v
2
psq|
2 ds
p´ enalise la courbure
1 : augmenter β tend ` a rendre le ! snake " moins flexible.
On fait donc apparaˆ ıtre dans cette expression des propri´ et´ es m´ ecaniques
du comportement d’un ´ elastique (d´ eriv´ ee du premier ordre) et d’une poutre
(d´ eriv´ ee du second ordre). Les mod` eles d´ eformables se comportent comme des
corps ´ elastiques qui r´ epondent naturellement aux forces et aux contraintes
qui leur sont appliqu´ ees. Notons que le choix β “ 0 autorise n´ eanmoins les
discontinuit´ es du second ordre.
En ce qui concerne l’expression de l’´ energie externe, plusieurs expressions
li´ ees `
a une fonction potentielle sont ` a notre disposition. Les contours que l’on
souhaite d´ eterminer sont :
– soit assimil´ es aux points de fort gradient de l’image donn´ ee I. L’expression de E e fait alors apparaˆ ıtre la norme du gradient, par exemple :
E e pvq “
ż 1
0
P pvpsqq ds
def
“ ´λ
ż 1
0
|∇Ipvpsqq|
2 ds ,
(5.3)
avec λ ą 0.
– soit assimil´ es aux points de d´ eriv´ ee seconde nulle (voir le d´ etecteur de
Hildrett-Marr, section 5.2.2 , p. 99). Si G σ d´ esigne un filtre gaussien, on
peut choisir
E e pvq “
ż 1
0
P pvpsqq ds
def
“ λ
ż 1
0
|G σ ˚ ΔIpvpsqq|
2 ds ,
(5.4)
1. Nous renvoyons `
a l’annexe, Section A.7, pour un rappel de g´ eom´ etrie des courbes
planes
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E s pvq “ E i pvq ` E e pvq .
Elle est constitu´ ee d’un terme de r´ egularisation interne E i et d’un terme de
potentiel d’attraction ou ajustement aux donn´ ees E e .
L’´ energie interne peut se d´ ecomposer comme suit :
E i pvq “
1
2
ż 1
0
“
α|v
1
psq|
2
` β |v
2
psq|
2 ‰
ds
(5.2)
o` u | ¨ | d´ esigne la norme euclidienne dans R
2 . Le param` etre α P L
8
p0, 1q est
le coefficient d’´ elasticit´ e (r´ esistance `
a l’allongement) et β P L
8
p0, 1q est le
coefficient de rigidit´ e. Le premier terme de E i pvq :
α
ż 1
0
|v
1
psq|
2 ds
p´ enalise la longueur du ! snake " : augmenter α tend ` a ´ eliminer les boucles
en r´ eduisant la longueur du contour.
Le second terme
β
ż 1
0
|v
2
psq|
2 ds
p´ enalise la courbure
1 : augmenter β tend ` a rendre le ! snake " moins flexible.
On fait donc apparaˆ ıtre dans cette expression des propri´ et´ es m´ ecaniques
du comportement d’un ´ elastique (d´ eriv´ ee du premier ordre) et d’une poutre
(d´ eriv´ ee du second ordre). Les mod` eles d´ eformables se comportent comme des
corps ´ elastiques qui r´ epondent naturellement aux forces et aux contraintes
qui leur sont appliqu´ ees. Notons que le choix β “ 0 autorise n´ eanmoins les
discontinuit´ es du second ordre.
En ce qui concerne l’expression de l’´ energie externe, plusieurs expressions
li´ ees `
a une fonction potentielle sont ` a notre disposition. Les contours que l’on
souhaite d´ eterminer sont :
– soit assimil´ es aux points de fort gradient de l’image donn´ ee I. L’expression de E e fait alors apparaˆ ıtre la norme du gradient, par exemple :
E e pvq “
ż 1
0
P pvpsqq ds
def
“ ´λ
ż 1
0
|∇Ipvpsqq|
2 ds ,
(5.3)
avec λ ą 0.
– soit assimil´ es aux points de d´ eriv´ ee seconde nulle (voir le d´ etecteur de
Hildrett-Marr, section 5.2.2 , p. 99). Si G σ d´ esigne un filtre gaussien, on
peut choisir
E e pvq “
ż 1
0
P pvpsqq ds
def
“ λ
ż 1
0
|G σ ˚ ΔIpvpsqq|
2 ds ,
(5.4)
1. Nous renvoyons `
a l’annexe, Section A.7, pour un rappel de g´ eom´ etrie des courbes
planes