4.5 D´ econvolution
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la forme : Rpf q ` b avec Rpf q “ h ˚ f . Nous g´ en´ eralisons donc ici le principe
du filtre de Wiener. Le probl` eme pP ROF q (p. 70) se g´ en´ eralise de la mani` ere
suivante
min
uPBV pΩq
Fpuq :“ Jpuq `
1
2ε
}Ru ´ u d }
2
2 .
(4.23)
o` u R est un op´ erateur de convolution ` a noyau sym´ etrique et positif et J
la variation totale de la fonction u (voir section 4.3.2 et/ou annexe A.6).
La fonctionnelle F est convexe et ¯
u est solution de (4.23) si et seulement si
0 P BFp¯ uq. Nous avons un r´ esultat analogue `
a celui de la section 4.3.2. Nous
nous pla¸ cons dans le cas discret :
Th´ eor` eme 4.5.1 La solution u ε de (4.23) est caract´ eris´ ee par l’existence de
μ ε v´ erifiant
μ ε “
R
˚
pu d ´ Ru ε q
ε
,
(4.24)
u ε “ u ε ` μ ε ´ P K pu ε ` μ ε q,
(4.25)
o` u P K est le projecteur orthogonal sur K donn´ e par (4.10) et R
˚ est
l’op´ erateur adjoint de R.
Preuve. Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que u ε soit une solution
de (4.23 ) est
0 P B
ˆ
Jpu ε q `
1
2ε
}Ru ε ´ u d }
2
X
˙
“
R
˚
pRu ε ´ u d q
ε
` BJpu ε q.
Ceci est ´ equivalent ` a
u ε P BJ
˚
pμ ε q,
o` u on pos´ e
μ ε “
R
˚
pu d ´ Ru ε q
ε
.
Comme J
˚
“ 1 K , la proposition 1.4.1 indique que
u ε P B1 K pμ ε q ðñ μ ε “ P K pu ε ` μ ε q,
d’o` u le r´ esultat.
l
On peut maintenant r´ esoudre le syst` eme (4.24-4.25) par exemple par une
m´ ethode de point fixe, qui conduit `
a l’algorithme de relaxation successive
(10).