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4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
Algorithme 10 Algorithme de d´ econvolution
Initialisation : u 0 , n “ 0.
while k ď It max do
Calcul de μ n “
R ˚ pu d ´ Ru n q
ε
Calcul de u n`1 “ u n ` τ pμ n ´ P K pu n ` μ n qq
end while
Proposition 4.5.1 L’algorithme (10) converge d` es que τ ă 2{}R
˚ R}.
Dans ce cas si la suite u n converge vers u ε alors μ n converge vers μ ε et pu ε , μ ε q
v´ erifie le syst` eme (4.24-4.25). C’est donc une solution du probl` eme (discret).
Pour plus de d´ etails, on peut se r´ ef´ erer `
a [33].
Le calcul de la projection P K se fait par exemple par l’algorithme de
Chambolle (1) ou l’algorithme de Weiss-Nesterov (4), ce qui implique une
boucle suppl´ ementaire dans l’algorithme (10).
En pratique, l’op´ erateur R est une op´ erateur de convolution associ´ e ` a un
noyau κ : Ru “ κ ˚ u. On peut ´ egalement utiliser l’algorithme de ChambollePock (5) d´ ecrit p.80 dans la section 4.3.3.3 qui donne dans ce cas :
Algorithme 11 Algorithme de Chambolle-Pock pour le mod` ele ROF de
d´ econvolution
Entr´ ee : on se donne γ en fonction de ε (par exemple γ “ 1{ε).
Initialisation : on se donne
– τ 0 , σ 0 ą 0 tels que τ 0 σ 0 ă 1{8,
– un point initial pu 0 , p 0 q P X ˆ Y et on pose ¯
u 0 “ u 0 .
.
It´ eration n : : on actualise u n , p n , ¯
u n , θ n , τ n et σ n avec
p
n`1
i,j “
q n
i,j
maxp1, |q n
i,j |q
o` u q n “ p n ` σ n ∇¯ u n P Y ,
u n`1 “ F ´1
ˆ
εF pv n q ` τ n F pu d qF pκq ˚
ε ` τ n F pκq 2
˙
o` u v n “ u n ` τ n div p n`1 P X,
, τ n`1 “ θ n τ n , σ n`1 “
σ n
θ n
.
¯
u n`1 “ u n`1 ` θpu n`1 ´ u n q.
On a not´ e F et F
´1 les transformations de Fourier (discr` etes) directe et
inverse (Voir annexe A.1.2 et [15] par exemple) calcul´ ees par FFT et IFFT.
Les divisions et multiplications sont faites composante par composante.
✓ n =
r
1
1 + 2⌧ n
4 D´ ebruitage par m´ ethodes non lin´ eaires
Algorithme 10 Algorithme de d´ econvolution
Initialisation : u 0 , n “ 0.
while k ď It max do
Calcul de μ n “
R ˚ pu d ´ Ru n q
ε
Calcul de u n`1 “ u n ` τ pμ n ´ P K pu n ` μ n qq
end while
Proposition 4.5.1 L’algorithme (10) converge d` es que τ ă 2{}R
˚ R}.
Dans ce cas si la suite u n converge vers u ε alors μ n converge vers μ ε et pu ε , μ ε q
v´ erifie le syst` eme (4.24-4.25). C’est donc une solution du probl` eme (discret).
Pour plus de d´ etails, on peut se r´ ef´ erer `
a [33].
Le calcul de la projection P K se fait par exemple par l’algorithme de
Chambolle (1) ou l’algorithme de Weiss-Nesterov (4), ce qui implique une
boucle suppl´ ementaire dans l’algorithme (10).
En pratique, l’op´ erateur R est une op´ erateur de convolution associ´ e ` a un
noyau κ : Ru “ κ ˚ u. On peut ´ egalement utiliser l’algorithme de ChambollePock (5) d´ ecrit p.80 dans la section 4.3.3.3 qui donne dans ce cas :
Algorithme 11 Algorithme de Chambolle-Pock pour le mod` ele ROF de
d´ econvolution
Entr´ ee : on se donne γ en fonction de ε (par exemple γ “ 1{ε).
Initialisation : on se donne
– τ 0 , σ 0 ą 0 tels que τ 0 σ 0 ă 1{8,
– un point initial pu 0 , p 0 q P X ˆ Y et on pose ¯
u 0 “ u 0 .
.
It´ eration n : : on actualise u n , p n , ¯
u n , θ n , τ n et σ n avec
p
n`1
i,j “
q n
i,j
maxp1, |q n
i,j |q
o` u q n “ p n ` σ n ∇¯ u n P Y ,
u n`1 “ F ´1
ˆ
εF pv n q ` τ n F pu d qF pκq ˚
ε ` τ n F pκq 2
˙
o` u v n “ u n ` τ n div p n`1 P X,
, τ n`1 “ θ n τ n , σ n`1 “
σ n
θ n
.
¯
u n`1 “ u n`1 ` θpu n`1 ´ u n q.
On a not´ e F et F
´1 les transformations de Fourier (discr` etes) directe et
inverse (Voir annexe A.1.2 et [15] par exemple) calcul´ ees par FFT et IFFT.
Les divisions et multiplications sont faites composante par composante.
✓ n =
r
1
1 + 2⌧ n