Table des matières
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes . . . . . . . . . . .
1
1.1 Capture ou suivi d’interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Méthodes Level Set et géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Méthodes Level Set et géométrie des courbes de R 3 . . . . . . . . . 7
1.4 Expression de forces de surface au moyen de fonction Level Set 10
1.4.1 Exemple 1 : traitement d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Exemple 2 : tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Aspects numériques I : consistance et précision . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Redistanciation de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Renormalisation de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Comparaison des deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Aspects numériques II : stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.3 Schéma semi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux
continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1 Caractéristiques et flots associés à un champ de vitesse . . . . . . 37
2.2 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Formules de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Conservation de la masse en eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 Conservation de la masse en lagrangien . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Conservation de la quantité de mouvement en eulérien 48
2.5.2 Conservation de la quantité de mouvement en lagrangien 48
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une
membrane élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 De la méthode de frontière immergée aux méthodes Level Set 52
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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes . . . . . . . . . . .
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1.1 Capture ou suivi d’interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Méthodes Level Set et géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Méthodes Level Set et géométrie des courbes de R 3 . . . . . . . . . 7
1.4 Expression de forces de surface au moyen de fonction Level Set 10
1.4.1 Exemple 1 : traitement d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Exemple 2 : tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Aspects numériques I : consistance et précision . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 Redistanciation de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Renormalisation de ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Comparaison des deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Aspects numériques II : stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.3 Schéma semi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux
continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1 Caractéristiques et flots associés à un champ de vitesse . . . . . . 37
2.2 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Formules de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1 Conservation de la masse en eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.2 Conservation de la masse en lagrangien . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Conservation de la quantité de mouvement en eulérien 48
2.5.2 Conservation de la quantité de mouvement en lagrangien 48
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une
membrane élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 De la méthode de frontière immergée aux méthodes Level Set 52
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