x
Table des matières
3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Formulation Level Set de la déformation élastique
d’une hypersurface immergée dans un fluide
incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Formulation Level Set de l’énergie élastique et
couplage fluide-structure dans le cas incompressible . . . 59
3.2.3 Généralisation aux écoulements compressibles . . . . . . . . 62
3.2.4 Prise en compte des forces de courbures . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.5 Existence de solutions et modèles de Korteweg . . . . . . . 65
3.3 Membrane immergée : cas avec cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 Approche Level Set pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Un tenseur eulérien pour mesurer les déformations
surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.3 Invariants et force élastique associée . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.4 Energie et modèle de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Courbe immergée dans R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1 Un tenseur eulérien pour mesurer les déformations
linéiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.2 Invariants et force élastique associée . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Schémas numériques explicites et semi-implicites en temps . . . 78
3.5.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.2 Schéma semi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.3 Validation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Illustrations numériques et exemples de codes de calcul . . . . . . 83
3.6.1 Membrane sans cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.2 Membrane avec cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides
élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Matériaux hyperélastiques en formulation lagrangienne . . . . . . 98
4.1.1 Principe d’indifférence matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.2 Materiaux isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.3 Calcul du tenseur des contraintes en Lagrangien . . . . . . 101
4.2 Matériaux hyperélastiques en formulation eulérienne . . . . . . . . 102
4.2.1 Calcul du tenseur des contraintes en Eulerien . . . . . . . . 102
4.2.2 Lois de comportement élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.3 Elasticité eulérienne en incompressible . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.4 Elasticité eulérienne en compressible . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Modèle de couplage fluide / structure élastique en
incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.1 Modèle et loi constitutive en incompressible . . . . . . . . . . 107
4.3.2 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Modèle de couplage fluide / structure élastique en compressible 117
4.4.1 Modèle et loi constitutive en compressible . . . . . . . . . . . 118
4.4.2 Schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Table des matières
3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Formulation Level Set de la déformation élastique
d’une hypersurface immergée dans un fluide
incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Formulation Level Set de l’énergie élastique et
couplage fluide-structure dans le cas incompressible . . . 59
3.2.3 Généralisation aux écoulements compressibles . . . . . . . . 62
3.2.4 Prise en compte des forces de courbures . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.5 Existence de solutions et modèles de Korteweg . . . . . . . 65
3.3 Membrane immergée : cas avec cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.1 Approche Level Set pour les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2 Un tenseur eulérien pour mesurer les déformations
surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.3 Invariants et force élastique associée . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.4 Energie et modèle de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Courbe immergée dans R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1 Un tenseur eulérien pour mesurer les déformations
linéiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.2 Invariants et force élastique associée . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Schémas numériques explicites et semi-implicites en temps . . . 78
3.5.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.2 Schéma semi-implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.3 Validation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Illustrations numériques et exemples de codes de calcul . . . . . . 83
3.6.1 Membrane sans cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.2 Membrane avec cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 Corps solides immergés dans un fluide : le cas des solides
élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1 Matériaux hyperélastiques en formulation lagrangienne . . . . . . 98
4.1.1 Principe d’indifférence matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1.2 Materiaux isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.3 Calcul du tenseur des contraintes en Lagrangien . . . . . . 101
4.2 Matériaux hyperélastiques en formulation eulérienne . . . . . . . . 102
4.2.1 Calcul du tenseur des contraintes en Eulerien . . . . . . . . 102
4.2.2 Lois de comportement élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.3 Elasticité eulérienne en incompressible . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.4 Elasticité eulérienne en compressible . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Modèle de couplage fluide / structure élastique en
incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.1 Modèle et loi constitutive en incompressible . . . . . . . . . . 107
4.3.2 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Modèle de couplage fluide / structure élastique en compressible 117
4.4.1 Modèle et loi constitutive en compressible . . . . . . . . . . . 118
4.4.2 Schéma numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120