Table des matières
xi
4.4.3 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5 Corps solides immergés dans un fluide incompressible :
le cas des solides rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 La méthode de pénalisation pour un solide de vitesse donnée . 126
5.2 Le cas d’un solide rigide en interaction avec le fluide . . . . . . . . 126
5.3 Remarques sur la mise en oeuvre numérique . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Extensions de la méthode de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.5 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set 143
6.1 Traitement par méthode Level Set des forces d’interaction . . . 144
6.1.1 Modèle de répulsion ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1.2 Répulsion surfacique par méthode Level Set . . . . . . . . . 145
6.1.3 Prise en compte de forces de cohésion et d’amortissement146
6.1.4 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2 Une méthode efficace pour traiter les contacts entre multiples
objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.2 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.3 Efficacité de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2.4 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.1 Exemples de calcul de la courbure avec une fonction Level Set 163
7.2 Justification des résultats utilisés pour les membranes avec
cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.1 Preuves des résultats concernant l’invariant Z 1 . . . . . . . 165
7.2.2 Illustrations analytiques pour Z 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3 Justification des résultats utilisés pour les courbes
paramétrées dans R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.1 Preuves des résultats concernant l’invariant Z 3 . . . . . . . 174
7.3.2 Formules de l’aire et de la co-aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3.3 Approximation volumique d’intégrales linéiques et
calcul de la force élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4 Schémas WENO pour l’équation de transport . . . . . . . . . . . . . . 182
7.5 Quelques pistes pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Crédits des figures reproduites avec permission . . . . . . . . . . . . . . . 189
Littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
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4.4.3 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5 Corps solides immergés dans un fluide incompressible :
le cas des solides rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.1 La méthode de pénalisation pour un solide de vitesse donnée . 126
5.2 Le cas d’un solide rigide en interaction avec le fluide . . . . . . . . 126
5.3 Remarques sur la mise en oeuvre numérique . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Extensions de la méthode de pénalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.5 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set 143
6.1 Traitement par méthode Level Set des forces d’interaction . . . 144
6.1.1 Modèle de répulsion ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.1.2 Répulsion surfacique par méthode Level Set . . . . . . . . . 145
6.1.3 Prise en compte de forces de cohésion et d’amortissement146
6.1.4 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2 Une méthode efficace pour traiter les contacts entre multiples
objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.2 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2.3 Efficacité de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.2.4 Illustrations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.1 Exemples de calcul de la courbure avec une fonction Level Set 163
7.2 Justification des résultats utilisés pour les membranes avec
cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.1 Preuves des résultats concernant l’invariant Z 1 . . . . . . . 165
7.2.2 Illustrations analytiques pour Z 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3 Justification des résultats utilisés pour les courbes
paramétrées dans R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.1 Preuves des résultats concernant l’invariant Z 3 . . . . . . . 174
7.3.2 Formules de l’aire et de la co-aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3.3 Approximation volumique d’intégrales linéiques et
calcul de la force élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4 Schémas WENO pour l’équation de transport . . . . . . . . . . . . . . 182
7.5 Quelques pistes pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Crédits des figures reproduites avec permission . . . . . . . . . . . . . . . 189
Littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191